Varianz

Zur Charakterisierung der Verteilung einer Zufallsgröße X werden neben dem Erwartungswert $E\left(X\right)$ noch deren Varianz und Standardabweichung herangezogen.

Diese Größen werden analog der mittleren quadratischen Abweichung s² (der sogenannten empirischen Varianz) und Standardabweichung s bei Häufigkeitsverteilungen definiert, wobei anstelle des Mittelwertes $\overline{x}$ der Erwartungswert $E\left(X\right)$ als Bezugsgröße tritt.
Gegeben sei folgende Verteilung einer Zufallsgröße X:

Die Zahl
$V\left(X\right)={\left[x_1-E\left(X\right)\right]}^2\cdot p_1+{\left[x_2-E\left(X\right)\right]}^2\cdot p_2+\mathrm{...}+{\left[x_k-E\left(X\right)\right]}^2\cdot p_k$
heißt Varianz von X.

Unter der Standardabweichung $\sigma \left(X\right)$ wird dann die Wurzel aus der Varianz verstanden, d. h., es ist:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}$

Beispiel 1 (Werfen eines idealen Würfels):
Es liegt folgende Verteilung der Zufallsgröße Augenzahl A vor:

Mit $E\left(A\right)=\mathrm{3,5}$ ergibt sich:
$\begin{array}{l}V\left(A\right)={\left(1-\mathrm{3,5}\right)}^2\cdot \frac{1}{6}+{\left(2-\mathrm{3,5}\right)}^2\cdot \frac{1}{6}+{\left(3-\mathrm{3,5}\right)}^2\cdot \frac{1}{6}\\ +{\left(4-\mathrm{3,5}\right)}^2\cdot \frac{1}{6}+{\left(5-\mathrm{3,5}\right)}^2\cdot \frac{1}{6}+{\left(6-\mathrm{3,5}\right)}^2\cdot \frac{1}{6}\\ =\frac{\mathrm{17,5}}{6}\approx \mathrm{2,92}\end{array}$
bzw.
$\sigma \left(A\right)\approx \mathrm{1,71}$

Beispiel 2 (Werfen eines gezinkten Würfels):
Die Zufallsgröße Augenzahl A sei folgendermaßen verteilt:

Bei gleichem Erwartungswert $E\left(A\right)=\mathrm{3,5}$ wie in Beispiel 1 ergibt sich hier:
$\begin{array}{l}V\left(A\right)={\left(1-\mathrm{3,5}\right)}^2\cdot \frac{1}{18}+{\left(2-\mathrm{3,5}\right)}^2\cdot \frac{2}{18}+{\left(3-\mathrm{3,5}\right)}^2\cdot \frac{6}{18}\\ +{\left(4-\mathrm{3,5}\right)}^2\cdot \frac{6}{18}+{\left(5-\mathrm{3,5}\right)}^2\cdot \frac{2}{18}+{\left(6-\mathrm{3,5}\right)}^2\cdot \frac{1}{18}\\ =\frac{\mathrm{24,5}}{18}\approx \mathrm{1,36}\end{array}$
bzw.
$\sigma \left(A\right)\approx \mathrm{1,16}$
Die Streuung um den (gleichen) Erwartungswert ist in Beispiel 2 also geringer als in Beispiel 1.