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Wahrscheinlichkeitsverteilung

Zufallsgrößen X sind dadurch gekennzeichnet, dass sie verschiedene Werte annehmen können, wobei jeder dieser Werte ein zufälliges Ereignis darstellt und mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit auftritt.
Die Funktion, die jedem Wert von X die Wahrscheinlichkeit für sein Eintreten zuordnet, wird Verteilung der Zufallsgröße bzw. Wahrscheinlichkeitsverteilung genannt.

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Aufgaben und Übungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt es hier!

Zufallsgrößen X sind dadurch gekennzeichnet, dass sie verschiedene Werte x 1 , x 2 , x 3   ... annehmen können, wobei jeder dieser Werte selbst ein zufälliges Ereignis darstellt und mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit p 1 , p 2 , p 3   ... auftritt.
Die Funktion, die jedem Wert von X die Wahrscheinlichkeit für sein Eintreten zuordnet, wird Verteilung der Zufallsgröße bzw. Wahrscheinlichkeitsverteilung genannt.

Verteilungen diskreter Zufallsgrößen (d. h. von Zufallsgrößen, die in einem bestimmten Intervall nur endlich viele Werte annehmen können) werden meist in Tabellenform angegeben:
 

Wert der Zufallsgröße X x 1 x 2 ... x k
Wahrscheinlichkeit p 1 p 2 ... p k


Anmerkung: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten p 1 , p 2   ...  p k ergibt stets den Wert 1.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen lassen sich (wie Häufigkeitsverteilungen) grafisch darstellen. Für die folgenden Beispiele sind entsprechende Streckendiagramme angegeben.

Beispiel 1 (Werfen eines idealen Würfels):
 

Augenzahl123456
Wahrscheinlichkeit 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6  

Bild

Beispiel 2 (Viermaliges Werfen einer Münze):
 

Anzahl der Wappen01234
Wahrscheinlichkeit 1 16 4 16 6 16 4 16 1 16  

Bild

Im Beispiel 1 liegt eine Gleichverteilung vor, Beispiel 2 ist typisch für eine sogenannte Binomialverteilung.

  • GEWA Fotostudio - MEV Verlag, Augsburg

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Wahrscheinlichkeitsverteilung." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/index.php/schuelerlexikon/mathematik/artikel/wahrscheinlichkeitsverteilung (Abgerufen: 09. June 2025, 15:02 UTC)

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Daniel Bernoulli

* 08. Februar 1700 Groningen
† 17. März 1782 Basel

Auf mathematischem Gebiet beschäftigte sich DANIEL BERNOULLI vor allem mit Problemen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Darüber hinaus arbeitete er über Reihen und Differenzialgleichungen.
Seine bedeutendsten wissenschaftlichen Leitungen erzielte er auf dem Gebiet der Hydromechanik, indem ihm die mathematische Beschreibung strömender Flüssigkeiten gelang.

Rechenregeln für Erwartungswerte

Für die Erwartungswerte von Zufallsgrößen gelten eine Reihe wichtiger und nützlicher Rechneregeln. Der Einfachheit halber sollen hier nur endliche Zufallsgrößen betrachtet werden.
Erwartungswerte können nach diesen Sätzen, nach Definitionen bzw. durch Simulationen bestimmt werden.

Kenngrößen von Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße wird vollständig durch ihre Verteilungsfunktion beschrieben. Diese gibt an, welche Werte die Zufallsgröße annehmen kann und mit welchen Wahrscheinlichkeiten sie dies tut.
In der Praxis möchte man allerdings meist mit möglichst wenigen, aber typischen Angaben auskommen, denn oftmals reicht schon eine grobe Vorstellung von der Zufallsgröße aus. Es kommt hinzu, dass die Verteilungsfunktion mitunter gar nicht oder nur schwer bestimmbar ist.

Man sucht deshalb nach Kenngrößen (manchmal spricht man auch von Parametern), die einen hinreichenden Aufschluss und eine quantitative Charakterisierung einer Zufallsgröße ermöglichen. Dies leisten Kenngrößen wie Erwartungswert, Median und Modalwert sowie die Streuung (bzw. Varianz) der Zufallsgröße.
Zur Charakterisierung der Asymmetrie einer Zufallsgröße benutzt man darüber hinaus die Kenngröße Schiefe. Eine Definition dieser Kenngröße geht auf den Vater der mathematischen Statistik KARL PEARSON (1857 bis 1936) zurück.

Jakob Bernoulli

 

JAKOB BERNOULLI, Schweizer Mathematiker
* 27. Dezember 1654 Basel
† 16. August 1705 Basel

JAKOB BERNOULLI gilt als einer der Hauptvertreter der Infinitesimalrechnung und Reihenlehre seiner Zeit. Gemeinsam mit seinem Bruder Johann entwickelte er den „Leibnizschen Calculus“ weiter.
Mit dem aus seinem Nachlass im Jahre 1713 herausgegebenen Buch „Ars conjectandi“ wurde JAKOB BERNOULLI zum Begründer einer Theorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung. In diesem Werk wird u. a. die Anwendung der Kombinatorik auf Glücks- und Würfelspiele beschrieben und das Gesetz der großen Zahlen formuliert.

Bernoulli-Ketten

Wird ein Bernoulli-Versuch insgesamt n-mal unabhängig voneinander (hintereinander) durchgeführt, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n. Mithilfe der bernoullischen Formel kann eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von k Erfolgen gemacht werden. Es ist:
  P ( genau k Erfolge ) = ( n k ) ⋅ p k ⋅ ( 1 − p ) n − k   ( k = 0 ;   1   ...   n )
Hierbei ist p die Erfolgswahrscheinlichkeit des Bernoulli-Versuches.

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