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Die Betrachtung eines Anwendungsbeispiels führt in Analogie zum Skalar- bzw. Vektorprodukt zur Einführung eines neuen Produktes für drei Vektoren, dem Spatprodukt.

Die Betrachtung der Bedingungen der Vektorraumdefinition führen zur Definition eines Unterraumes sowie dem Unterraumkriterium und weiter zum Begriff des Erzeugendensystems. Es werden Beispiele von Unterräumen spezieller Vektorräume angeführt.

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller Pfeile, die gleich lang, zueinander parallel und gleich orientiert sind. Diese übereinstimmende Länge aller repräsentierenden Pfeile eines bestimmten Vektors nennt man dessen Betrag.

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller Pfeile, die gleich lang, zueinander parallel und gleich orientiert sind.
Ein einzelner Pfeil aus dieser Menge heißt ein Repräsentant des Vektors.

Aus dieser Begriffsfestlegung ergibt sich die Möglichkeit, Vektoren in der Ebene und im Raum durch gerichtete Strecken darzustellen.

Fasst man Vektoren (allgemeiner) als n-Tupel reeller Zahlen auf, so führt dies zu einer Darstellung in Form einspaltiger bzw. einzeiliger Matrizen (Spalten- bzw. Zeilenvektoren).

Es seien $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\mathrm{...,}\overrightarrow{a_n}$ Vektoren eines Vektorraumes V (mit $\overrightarrow{o}$ als dem Nullvektor).

• Die Vektoren $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\mathrm{...,}\overrightarrow{a_n}$ heißen genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung ${\lambda }_1\overrightarrow{a_1}+{\lambda }_2\overrightarrow{a_2}+\mathrm{...}+{\lambda }_n\overrightarrow{a_n}=\overrightarrow{o}$ nur für ${\lambda }_1={\lambda }_2=\mathrm{...}={\lambda }_n=0$ erfüllt ist.
  Anderenfalls heißen die Vektoren $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\mathrm{...,}\overrightarrow{a_n}$ linear abhängig.

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Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Produkte von Vektoren".

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WISSENSTEST

Beim Vergleichen und beim Verknüpfen von Vektoren muss darauf geachtet werden, dass die Koordinatenanzahl, d.h. die Anzahl der Zeilen bei Darstellung als Spaltenvektor, übereinstimmt.
Für beliebige (n-dimensionale) Vektoren sind eine Addition sowie eine Vervielfachung mit reellen Zahlen definiert. Spezielle Produkte von Vektoren sind das Skalarprodukt sowie im dreidimensionalen Raum das Vektorprodukt und das Spatprodukt. Die Ergebnisse dieser Verknüpfungen können mithilfe der Koordinaten der zu verknüpfenden Vektoren berechnet werden.

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Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Rechnen mit Vektoren".

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WISSENSTEST

Eine Gleichung, deren Variable als Vektoren geschrieben werden können, bezeichnet man als Vektorgleichung.
Beim Lösen von Vektorgleichungen wird die Definition der Gleichheit von Vektoren zugrunde gelegt:
$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\iff \text{Für alle }{a}_i,b_i\text{ gilt }{a}_i=b_i.$
Damit kann die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem mit den Komponenten der Vektoren umgewandelt werden (Prinzip des Koordinatenvergleichs).
Mithilfe von Vektorgleichungen können z.B. Lagebeziehungen geometrischer Objekte ermittelt werden.

Analog zum Skalarprodukt wird ein neues Produkt $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ zweier Vektoren $\overrightarrow{a}und\overrightarrow{b}$ definiert. Dazu werden zunächst Anwendungsbeispiele betrachtet.

Für das Vektorprodukt gelten das Alternativgesetz und das Distributivgesetz.
Das Assoziativgesetz dagegen trifft im Allgemeinen nicht zu.
Geometrische Anwendungen sind neben der Berechnung des Flächeninhalts (von Parallelogrammen) das Bestimmen des Schnittwinkels zweier Ebenen, das Ermitteln des Normalenvektors einer Ebene oder das Berechnen des Abstands zweier windschiefer Geraden.

In den mathematischen Arbeitsgebieten und in vielen Anwendungsfeldern trifft man auf Größen, die man ähnlich wie Vektoren im Anschauungsraum addieren und mit einem Zahlenfaktor multiplizieren kann. Man beobachtet auch, dass dieselben grundlegenden Rechengesetze gelten.
Zwecks einheitlicher Untersuchung der sich daraus ergebenden Konsequenzen wurde der Begriff des (abstrakten) Vektorraumes eingeführt und eine weit verzweigte allgemeine Vektorraumtheorie aufgebaut.

Für geometrische Probleme, die sich auf der Oberfläche eines Zylinders abspielen, erweist es sich als unzweckmäßig, mit kartesischen Koordinaten zu arbeiten. Hierzu wählt man statt der rechtwinkligen Koordinaten für den Punkt $P\left(x;y;z\right)$ eine andere Form, die sogenannten Zylinderkoordinaten.
Das entsprechende Koordinatensystem stellt eine Kombination des Polarkoordinatensystems der Ebene und des kartesischen Systems dar.

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Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Abstände".

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In Analogie zur Definition des Abstandes anderer geometrischer Objekte wird unter dem Abstand zweier windschiefer Geraden g und h im Raum die Länge der kürzesten Strecke $\overline{AB}$ verstanden, die einen beliebigen Punkt A von g mit einem beliebigen Punkt B von h verbindet.

Gegeben seien im Raum zwei Ebenen ${\epsilon }_1$ und ${\epsilon }_2$.
Der Abstand dieser beiden Ebenen ist zu bestimmen.
Dazu muss man zuerst erklären, was unter dem Abstand von zwei Ebenen ${\epsilon }_1$ und ${\epsilon }_2$ zu verstehen ist.

Die Gleichung einer Ebene im Raum lässt sich besonders leicht bestimmen, wenn deren Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bekannt sind.
Schneidet die Ebene $\epsilon$
die x-Achse im Punkt $S_x\left(s_x;0;0\right)mit{s}_x\ne \mathrm{0,}$
die y-Achse im Punkt $S_y\left(0;s_y;0\right)mit{s}_y\ne 0$ und
die z-Achse im Punkt $S_z\left(0;0;s_z\right)mit{s}_z\ne 0$,
so erhält man mithilfe der Dreipunktegleichung die folgende Gleichung für $\epsilon \text{:}$
$\epsilon \text{:}\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{s}_x\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\left[\left(\begin{array}{c}0\\ s_y\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{s}_x\\ 0\\ 0\end{array}\right)\right]+s\left[\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ s_z\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{s}_x\\ 0\\ 0\end{array}\right)\right]$

Die Gleichung einer Geraden g in der Ebene lässt sich besonders leicht bestimmen, wenn die Schnittpunkte von g mit den Koordinatenachsen bekannt sind.

Der griechische Geometer APOLLONIOS VON PERGE (um 262 v.Chr. bis etwa 190 v.Chr.) beschäftigte sich intensiv mit Fragen der Form geometrischer Figuren.

* etwa 262 v.Chr. Perge (Pamphylien, heutige Türkei);
† etwa 190 v.Chr.

APOLLONIOS VON PERGE, auch „der große Geometer“ genannt, war ein Schüler EUKLIDS. Er beschäftigte sich sowohl mit arithmetischen Berechnungen als auch mit der Statistik. Besonders zu erwähnen ist sein Hauptwerk „Conica“, in dem er die Ergebnisse der antiken Kegelschnittslehre zusammenfasste.
APOLLONIOS lieferte auch wichtige Beiträge zur Astronomie. Speziell wandte er geometrische Modelle auf die Planentenbewegung an.

* 12. April 1794 Le Bourget
† 15. Februar 1847 Brüssel

Der belgische Mathematiker französischer Herkunft ist vor allem dadurch bekannt, dass er zur Herleitung der Eigenschaften von Kegelschnitten als erster (später nach ihm benannte) Kugeln benutzte, die jeweils Kegel und Schnittebene berühren.

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Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Ebenen im Raum".

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WISSENSTEST

In Analogie zu Geradenbüscheln und Geradenbündeln in der Ebene bzw. Ebenenbüscheln im Raum kann man auch die Menge aller Geraden des Raumes durch einen festen Punkt $P_0$ betrachten.

• Definition: Die Menge der Ebenen des Raumes, die eine feste Gerade $g_0$ enthalten, heißt Ebenenbüschel.

Eine Ebene ist durch drei Punkte bzw. einen Punkt und zwei (linear unabhängige) Richtungsvektoren eindeutig bestimmt.
Hieraus resultieren die analytischen Beschreibungsmöglichkeiten durch entsprechende Ebenengleichungen in parameterfreier Form (Koordinatengleichung, Achsenabschnittsgleichung) und in vektorieller Form (Dreipunktegleichung, Punktrichtungsgleichung).