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Die Betragsfunktion ist eine stückweise erklärte stetige Funktion. Sie ist folgendermaßen definiert:
$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}x\text{für }x\ge 0\\ -x\text{für }x<0\end{array}$

Zwei Terme, zwischen denen eines der Zeichen $<\text{,}>\text{,}\le \text{,}\ge \text{ oder }\ne$ steht, bilden eine Ungleichung.
Ungleichungen der Form $ax+by+c<0\left(a,b\ne 0\right)$ oder solche, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden können, heißen lineare Ungleichungen mit zwei Variablen.

In Funktionsgleichungen können Parameter in additiver und multiplikativer Verknüpfung mit Funktionstermen bzw. mit der Funktionsvariablen auftreten. Aus einer Funktionsgleichung $y=f\left(x\right)$ entstehen so z. B. die Gleichungen $y=f\left(x\right)+c$, $y=f\left(x+d\right)$, $y=a\cdot f\left(x\right)$ oder $y=f\left(b\cdot x\right)$.
Diese Parameter haben Einfluss auf Eigenschaften und Verlauf der Graphen der Funktion.

Der Funktionsbegriff ist von zentraler Bedeutung für die gesamte Mathematik und spielt auch bei Anwendungen der Mathematik in Naturwissenschaft, Technik, Wirtschaft und Gesellschaft eine wichtige Rolle. Seine Entwicklung zur heute gebräuchlichen Form hat Jahrhunderte gedauert. Die Namen bekannter Mathematiker sind mit diesem Prozess eng verbunden: LEIBNIZ verwendete 1692 erstmals das Wort Funktion, von JOHANN BERNOULLI stammt die erste Definition und auch EULER trug zur Präzisierung bei.
Unter einer Funktion f versteht man eine eindeutige Zuordnung (Abbildung), die jedem Element x aus einer Menge D eindeutig ein Element y aus einer Menge W zuordnet. D heißt der Definitionsbereich, W der Wertebereich der Funktion f. Man nennt $x\in D$ ein Argument, das zugeordnete Element $y\in W$ den Funktionswert von x bei der Funktion f. Als Kurzschreibweise gibt man die Funktionsgleichung u. a. in der Form $y=f\left(x\right)$ an.

Eine lineare Funktion ist durch zwei ihrer Wertepaare bzw. durch zwei Punkte ihres Graphen eindeutig bestimmt.
Ist eines des gegebenen Wertepaare das Paar (0; 0), verläuft der Graph der Funktion also durch den Koordinatenursprung, so ist das Ermitteln der Gleichung besonders einfach.

Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes in die Funktionsgleichung kann überprüft werden, ob der Punkte auf dem Graphen der Funktion liegt oder nicht.
Von besonderem Interesse sind die Schnittpunkte des Graphen einer Funktion mit den Koordinatenachsen. Auch sie lassen sich aus der Funktionsgleichung bestimmen.

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Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Lineare Funktionen".

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WISSENSTEST

In Funktionsgleichungen können Parameter in additiver und multiplikativer Verknüpfung mit Funktionstermen bzw. mit der Funktionsvariablen auftreten. Aus einer Funktionsgleichung $y=f\left(x\right)$ entstehen so z.B. die Gleichungen $y=f\left(x\right)+c$, $y=f\left(x+d\right)$, $y=a\cdot f\left(x\right)$ oder $y=f\left(b\cdot x\right)$.
Diese Parameter haben Einfluss auf Eigenschaften und Verlauf der Graphen der Funktion.

Jeder direkt proportionale Zusammenhang zwischen zwei Größen x und y kann durch eine spezielle lineare Funktion mit der Gleichung
$y=f\left(x\right)=mx\left(mx\ne 0\right)$
beschrieben werden.
Definitonsbereich und Wertevorrat (Wertebereich) von f ist die Menge der reellen Zahlen $ℝ$. Der Graph von f ist eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung O verläuft.

Der Funktionsbegriff ist von zentraler Bedeutung für die gesamte Mathematik und spielt auch bei Anwendungen der Mathematik in Naturwissenschaft und Technik sowie in Wirtschaft und Gesellschaft eine wichtige Rolle. Seine Entwicklung zur heute gebräuchlichen Form hat Jahrhunderte gedauert. Die Namen bekannter Mathematiker sind mit diesem Prozess eng verbunden.
Unter einer Funktion f versteht man eine eindeutige Zuordnung (Abbildung), die jedem Element x aus einer Menge $D_f$ eindeutig ein Element y aus einer Menge $W_f$ zuordnet. $D_f$ heißt der Definitionsbereich, $W_f$ der Wertebereich der Funktion f. Man nennt $x\in D_f$ ein Argument, das zugeordnete Element $y\in W_f$ den Funktionswert von x bei der Funktion f. Als Kurzschreibweise gibt man die Funktionsgleichung u.a. in der Form $y=f\left(x\right)$ an.

Für die Darstellung oder Beschreibung von Funktionen gibt es verschiedene Möglichkeiten.
Sind Definitions- und Wertebereich Mengen reeller Zahlen (handelt es sich also um reelle Funktionen), so kommen vor allem folgende Varianten in Frage:

• Angabe der (geordneten) Paare einander zugeordneter Elemente aus Definitions- und Wertebereich;
• Beschreibung der Zuordnungsvorschrift in Worten (Wortvorschrift; verbale Beschreibung);
• Angabe einer die Zuordnung vermittelnden Gleichung $y=f\left(x\right)$;
• Darstellung der einander zugeordneten Elemente in einer Wertetabelle;
• Beschreibung durch grafische Darstellungen, z.B. durch ein Pfeildiagramm oder durch Deuten der Zahlenpaare als die Koordinaten von Punkten in einem kartesischen Koordinatensystem (wodurch man einen Graphen der Funktion erhält)

Neben den oben angeführten Darstellungsarten für Funktionen nutzt man auch die sogenannte Parameterdarstellung. Diese ist dadurch charakterisiert, dass sowohl die Variable x als auch die Variable y jeweils für sich durch eine Funktionsgleichung beschrieben werden, die einen (gemeinsamen) Parameter t als unabhängige Variable enthält.