14 Suchergebnisse

Zusammenhänge aus verschiedensten Praxisbereichen lassen sich mithilfe von Funktionen beschreiben und dadurch bezüglich bestimmter Eigenschaften untersuchen. Neben anderen Eigenschaften kann dabei auch das Grenzverhalten von Funktionen, also die Veränderung ihrer Werte für unbegrenzt wachsende bzw. fallende Argumente bedeutsam sein.

Unter dem Grenzwert einer Zahlenfolge $\left(a_n\right)$ versteht man eine Zahl g mit folgender Eigenschaft:
Für jedes $\epsilon >0$ liegen fast alle Glieder der Zahlenfolge in der
$\epsilon$-Umgebung von g, d.h., von einem bestimmten n an gilt $\left|a_n-g\right|<\epsilon$.
Zahlenfolgen mit dem Grenzwert 0 heißen Nullfolgen

Das Paradoxon von ACHILLES und der Schildkröte ist das wohl bekannteste der Paradoxa des griechischen Philosophen ZENON von Elea (490 bis 430 v.Chr.).
Der (scheinbare) Widerspruch der mathematischen Überlegungen ZENONS zur Wirklichkeit konnte allerdings erst mithilfe des Grenzwertbegriffes bzw. der Konvergenz unendlicher geometrischer Reihen geklärt werden.

Der Begriff der Umgebung ist in der Analysis in verschiedenen Zusammenhängen von Bedeutung, z.B. bei der Definition des Grenzwertes von Zahlenfolgen oder Funktionen bzw. bei der Erklärung der Begriffe Maximum und Minimum von Funktionen.

Für eine Funktion mit einer Gleichung $y=f\left(x\right)$, also für eine Funktion mit genau einer unabhängigen Variablen x, ist die erste Ableitung $y\text{'}=f\text{'}\left(x_0\right)$ an einer Stelle $x_0$ erklärt durch den Grenzwert des Differenzenquotienten an dieser Stelle:
$f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$

Interpretiert man diesen Grenzwert geometrisch, so gibt er den Anstieg der Tangente an den Graphen von f im Punkte $P_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$ an.

Es sei nun $z=f\left(x,y\right)$ die Gleichung einer Funktion f mit zwei unabhängigen Variablen x und y. Betrachtet man diese Funktion für ein konstantes $y=y_0$, so erhält man eine Funktion $z=f\left(x,y_0\right)$ mit nunmehr nur einer unabhängigen Variablen x, für die man wie oben angegeben den Grenzwert des Differenzenquotienten an einer Stelle $x_0$ aufstellen kann. Existiert dieser Grenzwert, so nennt man ihn die partielle Ableitung erster Ordnung der Ausgangsfunktion $z=f\left(x,y\right)$ nach x an der Stelle $\left(x_0;y_0\right)$ und schreibt:
$f_x\left(x_0;y_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+h,y_0\right)-f\left(x_0,y_0\right)}{h}$

Unter einer Potenzfunktion wird eine Funktion mit einer Gleichung der Form $y=f\left(x\right)=x^n\left(x\in ℝ;n\in \mathbb{Z}\backslash \left\{0\right\}\right)$verstanden.

Ihre Ableitung erfolgt mithilfe der Potenzregel der Differenzialrechnung:

• Die Funktion $f\left(x\right)=x^n\left(n\in \mathbb{N};n\ge 1\right)$ ist differenzierbar und $f^{\prime }\left(x\right)=n\cdot x^{n-1}$ gilt.

Im Folgenden soll die Potenzregel der Differenzialrechnung für Potenzfunktionen $f\left(x\right)=x^n$ bewiesen werden.
Über die natürlichen Zahlen als Exponenten hinaus ist die Potenzregel auf Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten n $\left(falls{x}_0\ne 0\right)$, mit rationalen Exponenten n $\left(x>0\right)$ und sogar mit reellen Exponenten n $\left(x>0\right)$ anwendbar. Man nennt diesen Sachverhalt auch die erweiterte Potenzregel.

Im Folgenden soll die Summenregel der Differenzialrechnung bewiesen werden.
Die Summenregel gilt auch für mehr als zwei Summanden, was mithilfe des Beweisverfahrens der vollständigen Induktion bewiesen werden kann.

In der historischen Entwicklung der Differenzialrechnung spielte das sogenannte Tangentenproblem eine große Rolle.

Mithilfe der Formeln für arithmetische und geometrische Folgen lassen sich zahlreiche Anwendungen behandeln.
Allerdings zeigen sich bei bestimmten Aufgaben die Grenzen des mathematischen Modells Zahlenfolgen aufgrund ihres diskreten Definitionsbereiches. In diesem Fall ist eine Beschreibung des Sachverhaltes etwa mit Exponentialfunktionen günstiger.