Ableitung von Funktionen in Parameterdarstellung

Es gilt: Eine in Parameterdarstellung gegebene Funktion y = f(x) mit x = ϕ ( t ) und y = ψ ( t ) ist differenzierbar, wenn die Ableitungen von ϕ und ψ nach t existieren und ϕ ' ( t ) 0 .

Die Ableitungsfunktion lautet dann f'(x) = ψ ' ( t ) ϕ ' ( t ) .

Beweis:
Aus d y d t = d ψ ( t ) d t = ψ ' ( t ) und d x d t = d ϕ ( t ) d t = ϕ ' ( t ) erhält man d y d t d x d t = d y d x = ψ ' ( t ) ϕ ' ( t ) .

Anmerkung: Um die Ableitung nach dem Parameter t von der Ableitung nach x in d y d x zu unterscheiden, werden Ableitungen nach dem Parameter t häufig nicht mit einem nachgestellten Strich, sondern durch einen Punkt über den betreffenden Variablen gekennzeichnet. Es gilt also:
x . = d [ ϕ ( t ) ] d t ; y . = d [ ψ ( t ) ] d t

Beispiel

Die Parameterdarstellung einer Astroide lautet
x = ϕ ( t ) = sin 3 t ;
y = ψ ( t ) = cos 3 t .

Die Ableitungen sind dann:
x . = d [ ϕ ( t ) ] d t = 3 sin 2 t cos t ;
y . = d [ ψ ( t ) ] d t = 3 cos 2 t sin t

Daraus ergibt sich:
Dieser Quotient ist f ' ( x ) = ψ ' ( t ) ϕ ' ( t ) = 3 cos 2 t sin t 3 sin 2 t cos t = 1 tan t t für t = k π und t = ( 2 k + 1 ) π 2 ( k Z ) nicht definiert, was in Übereinstimmung mit dem Kurvenverlauf steht: Die Astroide hat in den Punkten (0; 1), (0; –1), (1; 0) und (–1; 0) „Spitzen“, sie ist dort nicht differenzierbar.

Für die zweite Ableitung y'' = f''(x) = d 2 y d x 2 einer in Parameterdarstellung gegebenen Funktion y = f(x) mit x = ϕ ( t ) und y = ψ ( t ) gilt (in Kurzform geschrieben):
y ' ' = ϕ ' ψ ' ' ϕ ' ' ψ ' ( ϕ ' ) 3 (sofern ϕ ' ( t ) 0 )

Astroide

Astroide

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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