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Ableitungsfunktion

Existiert der Differenzialquotient einer Funktion y = f ( x ) für alle Punkte eines Intervalls, so ist die Funktion im ganzen Intervall differenzierbar. Jedem x-Wert des Intervalls ist ein Wert des Differenzialquotienten zugeordnet, der also wiederum eine Funktion von x ist. Man nennt diese die abgeleitete Funktion oder Ableitungsfunktion (oder kurz Ableitung):
  f ′ :     x → f ′ ( x )
Anmerkung: f heißt Stammfunktion zu f ′ .

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Gegeben ist eine Funktion y = f ( x ) = x 4 .
Ihr Differenzialquotient in a ist der folgende:
  lim x → a f ( x ) − f ( a ) x − a = lim x → a x 4 − a 4 x − a                   = lim x → a ( x − a ) ( x + a ) ( x 2 + a 2 ) x − a                   = lim x → a ( x + a ) ( x 2 + a 2 ) = 2 a ⋅ 2 a 2 = 4 a 3
Daher lautet die Gleichung der Ableitungsfunktion von f:
  f ′ ( x ) = 4 x 3   b z w .   ( x 4 ) ′ = 4 x 3

Im Allgemeinen ist der Definitionsbereich der Ableitungsfunktion nicht gleich dem der zugrunde liegenden Funktion, sondern vielmehr ein Teilbereich davon. Die Definitionsmenge von f ′ umfasst alle Elemente der Definitionsmenge von f, für die Ableitungen existieren.

Beispiele

  • f :     x → m x + c
    Es gilt: D f ′ = D f = ℝ und f ′ :     x → m
  • f :     x → x
    Es gilt: D f ′ = ℝ + ⊂ ℝ + 0 = D f und f ′ :     x → 1 2 x
  • f :     x → 1 x
    Es gilt: D f ′ = D f = ℝ { 0 } und f ′ :     x → −   1 x 2
  • f :     x → |   x   |
    Es gilt: D f ′ = ℝ       { 0 } ⊂ ℝ = D f und f ′ :     x → {         1     f ü r     x > 0 −   1     f ü r     x < 0

Beachten Sie: Es ist stets D f ′ ⊆ D f .

Ableitungsfunktionen elementarer Funktionen

Bild

Wenn eine Funktion nur durch ihren Funktionsgraphen gegeben ist, dann kann man ihre Ableitungsfunktion näherungsweise durch grafisches Differenzieren bestimmen.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Ableitungsfunktion." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/ableitungsfunktion (Abgerufen: 20. May 2025, 11:09 UTC)

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Gottfried Wilhelm Leibniz

* 1. Juli 1646 Leipzig
† 14. November 1716 Hannover

GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ war einer der letzen Universalgelehrten der Neuzeit. Bedeutende wissenschaftliche Leistungen vollbrachte er auf mathematischem und philosophischem Gebiet, aber auch als Physiker und Techniker, Geschichts- und Sprachforscher bzw. Jurist.

Bezüglich der Mathematik sind vor allem seine Arbeiten zur Infinitesimalrechnung sowie zur Logik (Formalisierung der Mathematik) zu nennen. Sein um 1675 entwickelter (aber erst ab 1682 publizierter) „Calculus“ enthält Differenziationszeichen, Regeln zum Differenzieren sowie Aussagen zu Extremwerten und Wendepunkten. Auf LEIBNIZ zurück gehen auch das Integralzeichen sowie die Begriffe Differenzial- und Integralrechnung, Funktion und Koordinaten. Schon vor 1683 entwickelte er eine mechanische Rechenmaschine. LEIBNIZ war Begründer und zugleich erster Präsident der Berliner Akademie der Wissenschaften.

Tangentenproblem

In der historischen Entwicklung der Differenzialrechnung spielte das sogenannte Tangentenproblem eine große Rolle.

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