Achsenabschnittsgleichung einer Ebene im Raum

Hieraus folgt:
$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{s}_x\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}-s_x\\ s_y\\ 0\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}-s_x\\ 0\\ s_z\end{array}\right)$

Daraus wiederum erhält man ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen:
$\begin{array}{cc}\left(I\right)& x=s_x-s_x\cdot r-s_x\cdot s\\ \left(II\right)& y=s_y\cdot r\\ \left(III\right)& z=s_z\cdot s\end{array}$

Aus (II) folgt $r=\frac{y}{s_y}\left(mit{s}_y\ne 0\right),$ und aus (III) ergibt sich $s=\frac{z}{s_z}\left(mit{s}_z\ne 0\right).$

Setzt man diese beiden Werte nun in (I) ein, so ergibt sich:
$x=s_x-s_x\cdot \frac{y}{s_y}-s_x\cdot \frac{z}{s_z}$

Nach Division durch $-s_x\left(mit{s}_x\ne 0\right)$ erhält man:
$-\frac{x}{s_x}=-1+\frac{y}{s_y}+\frac{z}{s_z}bzw.\frac{x}{s_x}+\frac{y}{s_y}+\frac{z}{s_z}=1$

Als Achsenabschnittsgleichung wird die folgenden Form der Ebenengleichung bezeichnet:

• Die Lösungsmenge der Gleichung $\frac{x}{s_x}+\frac{y}{s_y}+\frac{z}{s_z}=1\left(mit{s}_x,s_y,s_z\ne 0\right)$ ist diejenige Ebene im Raum, welche die Koordinatenachsen in den Punkten $S_x\left(s_x;0;0\right),S_y\left(0;s_y;0\right)und{S}_z\left(0;0;s_z\right)$ schneidet.

Dabei ist $s_x\left(mit{s}_x\ne 0\right)$ der x-Achsenabschnitt, $s_y\left(mit{s}_y\ne 0\right)$ der y-Achsenabschnitt und $s_z\left(mit{s}_z\ne 0\right)$ der z-Achsenabschnitt der Ebene.