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Achsenabschnittsgleichung einer Ebene im Raum

Die Gleichung einer Ebene im Raum lässt sich besonders leicht bestimmen, wenn deren Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bekannt sind.
Schneidet die Ebene ε
die x-Achse im Punkt S x ( s x ;   0 ;   0 )       m i t       s x ≠ 0,
die y-Achse im Punkt S y ( 0 ;   s y ;   0 )       m i t       s y ≠ 0 und
die z-Achse im Punkt S z ( 0 ;   0 ;   s z )       m i t       s z ≠ 0   ,
so erhält man mithilfe der Dreipunktegleichung die folgende Gleichung für ε     :
  ε     :   x → = ( s x 0 0 ) + r [ ( 0 s y 0 ) − ( s x 0 0 ) ] + s [ ( 0 0 s z ) − ( s x 0 0 ) ]

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Hieraus folgt:
  ( x y z ) = ( s x 0 0 ) + r ( −   s x s y 0 ) + s ( −   s x 0 s z )

Daraus wiederum erhält man ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen:
  (   I   ) x = s x − s x ⋅ r − s x ⋅ s ( I I ) y =                         s y ⋅ r ( I I I ) z =                                                       s z ⋅ s

Aus (II) folgt r = y s y       ( m i t       s y ≠ 0 ) , und aus (III) ergibt sich s = z s z       ( m i t       s z ≠ 0 ) .

Setzt man diese beiden Werte nun in (I) ein, so ergibt sich:
  x = s x − s x ⋅ y s y − s x ⋅ z s z

Nach Division durch −   s x       ( m i t       s x ≠ 0 ) erhält man:
  − x s x = − 1 + y s y + z s z     b z w .     x s x + y s y + z s z = 1

Als Achsenabschnittsgleichung wird die folgenden Form der Ebenengleichung bezeichnet:

  • Die Lösungsmenge der Gleichung x s x + y s y + z s z = 1       ( m i t       s x ,   s y ,   s z ≠ 0 ) ist diejenige Ebene im Raum, welche die Koordinatenachsen in den Punkten S x ( s x ;   0 ;   0 ) ,       S y ( 0 ;   s y ;   0 )       u n d       S z ( 0 ;   0 ;   s z ) schneidet.

Dabei ist s x     ( m i t       s x ≠ 0 ) der x-Achsenabschnitt, s y     ( m i t       s y ≠ 0 ) der y-Achsenabschnitt und s z     ( m i t       s z ≠ 0 ) der z-Achsenabschnitt der Ebene.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Achsenabschnittsgleichung einer Ebene im Raum." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/achsenabschnittsgleichung-einer-ebene-im-raum (Abgerufen: 20. May 2025, 19:27 UTC)

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