Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik Abitur
  3. 1 Denk- und Arbeitsweisen der Mathematik
  4. 1.2 Grundbegriffe der Mathematik
  5. 1.2.1 Mengen
  6. Berühmte mathematische Sätze und Vermutungen

Berühmte mathematische Sätze und Vermutungen

Die Mathematik stellt ein vielfältig verwobenes System von mathematischen Begriffen, Aussagen, Axiomen, Regeln usw. unterschiedlicher Abstraktionshöhe dar, das in einer langen Geschichte gewachsen ist und sich ständig weiterentwickelt. Dieser Prozess hat dabei seine Ursache sowohl in inneren Bedürfnissen der Mathematik selbst als auch in Anforderungen der Praxis.
Aussagen, deren Wahrheitswert noch nicht bewiesen werden konnte, tragen den Charakter von Vermutungen. So stehen die Beweise beispielsweise für die goldbachsche Vermutung oder die Vermutung über Primzahlzwillinge noch aus.

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

Das Theoriegebäude der Mathematik fußt auf nicht definierten, sondern lediglich durch ihre wechselseitigen Beziehungen charakterisierten Grundbegriffen sowie auf normativen Festlegungen, die im jeweiligen mathematischen System nicht zu beweisen sind, den sogenannten Axiomen. Über dieser Basis erhebt sich ein Geflecht von (abgeleiteten, definitorisch festgelegten) Begriffen und durch Beweise gesicherten Aussagen, den mathematischen Sätzen. Daneben stehen Aussagen, deren Wahrheitswert noch nicht bewiesen werden konnte und die deshalb den Charakter von Vermutungen tragen.

Der Beweis für den Großen fermatschen Satz und die Lösung des Vierfarbenproblems gelangen so erst in jüngerer Vergangenheit.

Der Große fermatsche Satz

Als Großer fermatscher Satz wird die Aussage bezeichnet, dass die Gleichung x n + y n = z n für natürliche Zahlen n > 2 keine von null verschiedenen ganzzahligen Lösungen besitzt.
PIERRE DE FERMAT (1601 bis 1665) formulierte seine Behauptung als Randnotiz bei der Beschäftigung mit den Werken des DIOPHANTOS VON ALEXANDRIA (um 250), versehen mit dem Vermerk, dass er einen wunderbaren Beweis für deren Richtigkeit gefunden habe, doch der Blattrand zu schmal sei, um ihn anzugeben.

So einfach die als eine Art Verallgemeinerung des bekannten Lehrsatzes von PYTHAGORAS (mit unendlich vielen pythagoreischen Zahlentripeln als Lösungen) zu verstehende Aussage zu sein scheint: Fast dreieinhalb Jahrhunderte sollte es dauern, bis es ANDREW WILES (geb. 1953) im Jahre 1993/94 gelang, unter Einsatz komplizierter Erkenntnisse und Hilfsmittel der Algebra, der analytischen Geometrie sowie der Zahlentheorie den Beweis der fermatschen Behauptung zu erbringen.

Das Vierfarbenproblem

Als Vierfarbenproblem – aufgeworfen im Jahre 1852 durch den Engländer FRANCIS GUTHRIE (1831 bis 1899) – bezeichnet man die Frage, ob jede Landkarte so mit vier Farben gefärbt werden kann, dass benachbarte Länder stets verschiedenfarbig gekennzeichnet werden.

Über 100 Jahre vergingen, bis der korrekte Nachweis erbracht wurde, dass dies immer möglich ist. Da der Beweis der amerikanischen Mathematiker KENNETH APPEL und WOLFGANG HAKEN (Universität Illinois) aus dem Jahr 1976 sich vorrangig Computerberechnungen bediente und folglich vom Menschen nicht „per Hand“ nachvollzogen werden konnte, hatte er eine kontroverse Diskussion zur Folge.

Die Goldbachsche Vermutung

Zu den bis heute nicht gelösten mathematischen Problemen zählt beispielsweise der Beweis jener Vermutung, die im Jahre 1742 von CHRISTIAN GOLDBACH (1690 bis 1764) in einem Brief an LEONHARD EULER formuliert wurde.
Diese sogenannte (binäre) goldbachsche Vermutung besagt:

Jede gerade Zahl größer oder gleich 4 lässt sich als Summe zweier Primzahlen darstellen (wobei GOLDBACH selbst, der die 1 zu den Primzahlen zählte, allerdings die hierzu äquivalente Fassung Jede gerade Zahl größer als 2 lässt sich als Summe dreier Primzahlen schreiben verwendete).

Im Jahre 1855 bestätigte A. DESBOVES die goldbachsche Vermutung für natürliche Zahlen bis 10000.
Im 20. Jahrhundert stieg diese Obergrenze durch die Verwendung von elektronischen Hochleistungsrechnern schnell an und erreichte inzwischen die Zahl 4 ⋅ 10 14 .

Vermutung über Primzahlzwillinge

Ebenfalls noch nicht verifiziert wurde die Annahme, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Dabei versteht man unter Primzahlzwillingen – diese Bezeichnung wurde erstmals von PAUL STÄCKEL (1862 bis 1919) benutzt – solche Primzahlen, zwischen denen in der Folge der natürlichen Zahlen nur genau eine andere Zahl steht, die also „den Abstand 2“ haben.
Mit anderen Worten: Zwei Primzahlen p 1 und p 2 heißen genau dann Primzahlzwillinge, wenn p 1 + 2 = p 2 gilt.

Die kleinsten Zwillinge sind also (3; 5), es schließen sich die Paare (5; 7), (11; 13), (17; 19) usw. an. Da man keine Bildungsvorschrift für solche Paare kennt, bleibt nur die Möglichkeit, Proberechnungen durchzuführen. Für Ende 2002 wurde von STEFFEN POLSTER als größtes bislang bekanntes Zwillingspaar 33   218   925  ⋅ 2 169   690  ± 1  (Zahlen mit 51090 Stellen) angegeben.

Neben den hier genannten gibt es noch eine große Zahl mathematischer Probleme, die erst nach langem Bemühen gelöst werden konnten – und ebenso solche, die noch einer Lösung harren.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Berühmte mathematische Sätze und Vermutungen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/beruehmte-mathematische-saetze-und-vermutungen (Abgerufen: 20. May 2025, 12:20 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • goldbachsche Vermutung
  • Primzahlzwillinge
  • Sätze
  • Axiome
  • Vierfarbenproblem
  • großer fermatscher Satz
  • Beweise
  • Wiles
  • Definitionen
  • Desboves
  • Diophantos
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Carl Friedrich Gauß

* 30. April 1777 Braunschweig
† 23. Februar 1855 Göttingen

Der oft als „Princeps mathematicorum“ (Fürst der Mathematik) bezeichnete CARL FRIEDRICH GAUSS erzielte bahnbrechende Leistungen in Mathematik, Physik, Astronomie und Geodäsie.
Auf mathematischem Gebiet beschäftigte er sich vor allem mit Probemen der Zahlentheorie und Algebra sowie mit Fragen der numerischen Mathematik. Durch neue Berechnungsmethoden schuf er die Grundlagen für eine exakte Bestimmung der Planetenbahnen.
Gemeinsam mit dem Physiker WILHELM WEBER trug GAUSS wesentlich zur Erforschung des Erdmagnetismus und zur Aufstellung eines absoluten Maßsystems bei. Weitere erwähnenswerte Leistungen sind die Bestimmung der Lage der Magnetpole der Erde sowie die Entwicklung des elektromagnetischen Telegrafen.

Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski

* 20. November 1792 Nishni-Nowgorod
† 12. Februar 1856 Kasan

NIKOLAI IWANOWITSCH LOBATSCHEWSKI gilt neben dem Ungarn JANOS BOLYAI als Begründer der nichteuklidischen Geometrie.
Ausgehend von der Negation des euklidischen Parallelenaxioms gelangte er zur hyperbolischen Geometrie, die heute nach ihm auch lobatschewskische Geometrie genannt wird.

Zur Geschichte des euklidischen Parallelenaxioms

In seinem Hauptwerk „Die Elemente“ legt EUKLID VON ALEXANDRIA (etwa 365 bis etwa 300 v.Chr.) einen systematischen Aufbau der Geometrie vor. Dabei spielt das sogenannte Parallelenaxiom eine besondere Rolle.
Zum Ende des 18. Jahrhunderts setzte sich immer mehr die Erkenntnis durch, dass das Parallelenaxiom nicht aus den anderen Axiomen EUKLIDS ableitbar und damit für den Aufbau der euklidischen Geometrie unverzichtbar ist.
Ausgehend von der Negation des Parallelenaxioms gelang es, völlig neue und in sich widerspruchsfreie Geometrien aufzubauen. Der russische Mathematiker LOBATSCHEWSKI und der Ungar JANOS BOLAYI entdeckten unabhängig voneinander zunächst die hyperbolische Geometrie, BERNHARD RIEMANN entwickelte später die elliptische Geometrie.
Speziell gehört es heute zu den aktuellen Fragen der Physik, welche der Geometrien das Universum im Großen am besten beschreibt. Ist es also elliptisch (sphärisch), euklidisch (eben) oder hyperbolisch?

René Descartes

* 31. März 1596 La Haye bei Tours
† 11. Februar 1650 Stockholm

Der französische Philosoph RENÉ DESCARTES gilt als einer der Wegbereiter der Aufklärung in Europa. Auf mathematischem Gebiet arbeitete er vor allem zur analytischen Geometrie. So geht die heute gebräuchliche Form des (kartesischen) Koordinatensystems auf ihn zurück. Auch setzte er sich dafür ein, mathematische (deduktive) Methoden in der Philosophie anzuwenden.

Pierre de Fermat

* 1607 Beaumont-de-Lomagne
† 12. Januar 1665 Castres

PIERRE DE FERMAT begründete neben RENÉ DESCARTES die analytische Geometrie. Des Weiteren arbeitete er auf dem Gebiet der Zahlentheorie und war an der Ausarbeitung von Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung beteiligt. FERMAT führte einen regen wissenschaftlichen Briefwechsel mit Mathematikern seiner Zeit wie DESCARTES und BLAISE PASCAL. Eine besondere Berühmtheit erlangte sein Name im Zusammenhang mit der fermatschen Vermutung, deren Beweis viele Generationen von Mathematikern beschäftigte und erst im Jahre 1994 gelang.

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025