Berühmte mathematische Sätze und Vermutungen

Das Theoriegebäude der Mathematik fußt auf nicht definierten, sondern lediglich durch ihre wechselseitigen Beziehungen charakterisierten Grundbegriffen sowie auf normativen Festlegungen, die im jeweiligen mathematischen System nicht zu beweisen sind, den sogenannten Axiomen. Über dieser Basis erhebt sich ein Geflecht von (abgeleiteten, definitorisch festgelegten) Begriffen und durch Beweise gesicherten Aussagen, den mathematischen Sätzen. Daneben stehen Aussagen, deren Wahrheitswert noch nicht bewiesen werden konnte und die deshalb den Charakter von Vermutungen tragen.

Der Beweis für den Großen fermatschen Satz und die Lösung des Vierfarbenproblems gelangen so erst in jüngerer Vergangenheit.

Der Große fermatsche Satz

Als Großer fermatscher Satz wird die Aussage bezeichnet, dass die Gleichung $x^n+y^n=z^n$ für natürliche Zahlen n > 2 keine von null verschiedenen ganzzahligen Lösungen besitzt.
PIERRE DE FERMAT (1601 bis 1665) formulierte seine Behauptung als Randnotiz bei der Beschäftigung mit den Werken des DIOPHANTOS VON ALEXANDRIA (um 250), versehen mit dem Vermerk, dass er einen wunderbaren Beweis für deren Richtigkeit gefunden habe, doch der Blattrand zu schmal sei, um ihn anzugeben.

So einfach die als eine Art Verallgemeinerung des bekannten Lehrsatzes von PYTHAGORAS (mit unendlich vielen pythagoreischen Zahlentripeln als Lösungen) zu verstehende Aussage zu sein scheint: Fast dreieinhalb Jahrhunderte sollte es dauern, bis es ANDREW WILES (geb. 1953) im Jahre 1993/94 gelang, unter Einsatz komplizierter Erkenntnisse und Hilfsmittel der Algebra, der analytischen Geometrie sowie der Zahlentheorie den Beweis der fermatschen Behauptung zu erbringen.

Das Vierfarbenproblem

Als Vierfarbenproblem – aufgeworfen im Jahre 1852 durch den Engländer FRANCIS GUTHRIE (1831 bis 1899) – bezeichnet man die Frage, ob jede Landkarte so mit vier Farben gefärbt werden kann, dass benachbarte Länder stets verschiedenfarbig gekennzeichnet werden.

Über 100 Jahre vergingen, bis der korrekte Nachweis erbracht wurde, dass dies immer möglich ist. Da der Beweis der amerikanischen Mathematiker KENNETH APPEL und WOLFGANG HAKEN (Universität Illinois) aus dem Jahr 1976 sich vorrangig Computerberechnungen bediente und folglich vom Menschen nicht „per Hand“ nachvollzogen werden konnte, hatte er eine kontroverse Diskussion zur Folge.

Die Goldbachsche Vermutung

Zu den bis heute nicht gelösten mathematischen Problemen zählt beispielsweise der Beweis jener Vermutung, die im Jahre 1742 von CHRISTIAN GOLDBACH (1690 bis 1764) in einem Brief an LEONHARD EULER formuliert wurde.
Diese sogenannte (binäre) goldbachsche Vermutung besagt:

Jede gerade Zahl größer oder gleich 4 lässt sich als Summe zweier Primzahlen darstellen (wobei GOLDBACH selbst, der die 1 zu den Primzahlen zählte, allerdings die hierzu äquivalente Fassung Jede gerade Zahl größer als 2 lässt sich als Summe dreier Primzahlen schreiben verwendete).

Im Jahre 1855 bestätigte A. DESBOVES die goldbachsche Vermutung für natürliche Zahlen bis 10000.
Im 20. Jahrhundert stieg diese Obergrenze durch die Verwendung von elektronischen Hochleistungsrechnern schnell an und erreichte inzwischen die Zahl $4\cdot {10}^{14}$.

Vermutung über Primzahlzwillinge

Ebenfalls noch nicht verifiziert wurde die Annahme, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Dabei versteht man unter Primzahlzwillingen – diese Bezeichnung wurde erstmals von PAUL STÄCKEL (1862 bis 1919) benutzt – solche Primzahlen, zwischen denen in der Folge der natürlichen Zahlen nur genau eine andere Zahl steht, die also „den Abstand 2“ haben.
Mit anderen Worten: Zwei Primzahlen $p_1$ und $p_2$ heißen genau dann Primzahlzwillinge, wenn $p_1+2=p_2$ gilt.

Die kleinsten Zwillinge sind also (3; 5), es schließen sich die Paare (5; 7), (11; 13), (17; 19) usw. an. Da man keine Bildungsvorschrift für solche Paare kennt, bleibt nur die Möglichkeit, Proberechnungen durchzuführen. Für Ende 2002 wurde von STEFFEN POLSTER als größtes bislang bekanntes Zwillingspaar $\text{33}\text{218}\text{925 }\cdot {\text{2}}^{\text{169}\text{690}}\text{ ± 1 }$ (Zahlen mit 51090 Stellen) angegeben.

Neben den hier genannten gibt es noch eine große Zahl mathematischer Probleme, die erst nach langem Bemühen gelöst werden konnten – und ebenso solche, die noch einer Lösung harren.