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Betrachtet man die Mathematik als Gebäude, dann bilden Grundbegriffe und als wahr angenommene Aussagen (sogenannte Axiome) das Fundament. Der Aufbau des Gebäudes vollzieht sich im Wesentlichen dadurch, dass ausgehend von den Grundbegriffen weitere Begriffe gebildet werden sowie Zusammenhänge zwischen ihnen erkannt und in Aussagen formuliert werden. Als wahr erkannte Aussagen werden als Sätze in das Gebäude aufgenommen und bei dessen weiterer Vervollkommnung verwendet. Der Nachweis der Wahrheit einer Aussage, eines mathematischen Satzes, erfolgt durch einen Beweis.

Man unterscheidet im Wesentlichen zwei Beweisverfahren, den direkten Beweis und den indirekten Beweis.
Jeder Beweis besteht aus drei Schritten, die schon von EUKLID so angegeben wurden, nämlich
Voraussetzung – Behauptung – Beweis(durchführung).
Wenn eine mathematische Aussage bewiesen werden soll, dann ist es günstig, diese Aussage in Form einer Implikation,
also in „wenn …, dann …“-(oder in „wenn … , so gilt …“-) Form anzugeben. Der auf „wenn“ folgende Satzteil enthält bei einer solchen Formulierung die Voraussetzung, der sich an „dann“ (bzw. „so gilt“) anschließende die Behauptung. Die Umkehrung eines Satzes lässt sich auf diese Weise ebenfalls leichter formulieren.

Betrachtet man die Mathematik als Gebäude, dann bilden Grundbegriffe und als wahr angenommene Grundaussagen (so genannte Axiome bzw. Postulate) das Fundament. Der Aufbau des Gebäudes vollzieht sich im Wesentlichen dadurch, dass ausgehend von den Grundbegriffen weitere Begriffe (sogenannte abgeleitete Begriffe) gebildet (definiert) werden sowie Zusammenhänge zwischen ihnen erkannt und in Aussagen formuliert werden. Als wahr erkannte Aussagen werden als Sätze (Lehrsätze) in das Gebäude aufgenommen und bei dessen weiterer Vervollkommnung verwendet.
Der Nachweis der Wahrheit einer Aussage, eines mathematischen Satzes, erfolgt durch einen Beweis. Man unterscheidet direkte und indirekte Beweise.

Das Theoriegebäude der Mathematik fußt auf nicht definierten Grundbegriffen sowie auf Aussagen, die im jeweiligen mathematischen System nicht zu beweisen sind, den sogenannten Axiomen. Über dieser Basis erhebt sich ein Geflecht von abgeleiteten Begriffen und durch Beweise gesicherten Aussagen, den mathematischen Sätzen.
Daneben stehen Aussagen, deren Wahrheitswert noch nicht bewiesen werden konnte und die deshalb den Charakter von Vermutungen tragen.
Der Beweis für den Großen fermatschen Satz und die Lösung des Vierfarbenproblems gelangen erst in jüngerer Vergangenheit. Demgegenüber stehen Beweise für die goldbachsche Vermutung oder die Vermutung über Primzahlzwillinge noch aus.

In der kritischen Auseinandersetzung zur Entstehung der nichteuklidischen Geometrien, durch die die Auffassung von der Alleingültigkeit der Geometrie EUKLIDs und damit der genauen Beschreibung des realen physikalischen Raumes beseitigt wurde, hatte die axiomatische Methode zum Aufbau einer Theorie, die inzwischen Grundlage des Theorieaufbaus vieler Bereiche der modernen Mathematik ist, eine besondere Bedeutung.

Die Mathematik stellt ein vielfältig verwobenes System von mathematischen Begriffen, Aussagen, Axiomen, Regeln usw. unterschiedlicher Abstraktionshöhe dar, das in einer langen Geschichte gewachsen ist und sich ständig weiterentwickelt. Dieser Prozess hat dabei seine Ursache sowohl in inneren Bedürfnissen der Mathematik selbst als auch in Anforderungen der Praxis.
Aussagen, deren Wahrheitswert noch nicht bewiesen werden konnte, tragen den Charakter von Vermutungen. So stehen die Beweise beispielsweise für die goldbachsche Vermutung oder die Vermutung über Primzahlzwillinge noch aus.