Allgemeines zu Beweisverfahren

Die Struktur mathematischer Sätze ist im Allgemeinen eine Implikation der Form AB, wobei das Vorderglied A die Voraussetzung und das Hinterglied B die Behauptung genannt wird.

Von dorther ergibt sich beim Beweisen eine Dreiteilung:
VoraussetzungBehauptungBeweis

Der dritte Schritt (die eigentliche Beweisdurchführung) besteht aus einer Kette von Folgerungen, in denen nur die Voraussetzung(en), vorhandene Definitionen und bereits bewiesene Sätze verwendet werden dürfen. Am Ende dieser Kette, die durch logische Schlussregeln aufgebaut und begründet ist, muss sich die Behauptung ergeben.

Im Folgenden seien Beispiele für wichtige im Mathematikunterricht vorkommende logische Schlussregeln aufgezählt:

  1. Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch
    ¬(A¬A)
    Es ist nicht wahr, dass eine Aussage und ihr Gegenteil gleichzeitig gelten.
     
  2. Satz vom ausgeschlossenen Dritten
    A¬A
    Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch, etwas Drittes gibt es nicht.
     
  3. Abtrennungsregel (modus ponens)
    ABA¯B

    Beispiel: Wenn α und β Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind, dann ist αβ. Nach Konstruktion sind α und β Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen. Also gilt αβ.
     
  4. Kettenregel oder Kettenschluss (modus barbara)
    ABBC¯AC

    Beispiel: Aus der Gültigkeit der Aussagen „Wenn 12|a, dann auch 6|a“ und „Wenn 6|a, dann auch 3|a“ folgt die Gültigkeit der Aussage „Wenn 12|a, dann auch 3|a“ für alle a.
     
  5. Schluss auf eine Allaussage
    Wenn für ein beliebiges Element a einer Grundmenge die Aussage A(a) wahr ist, so ist die Aussage „Für alle x gilt A(x)“ wahr.

    Beispiel: Wenn man gezeigt hat, dass der Lehrsatz des PYTHAGORAS für ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck gilt, dann gilt er für alle rechtwinkligen Dreiecke.
     
  6. Regel der Kontraposition
    AB¬B¬A
    Wenn die Aussage „Wenn A, dann B“ wahr ist, so ist auch „Wenn nicht B, dann nicht A“ eine wahre Aussage.

    Beispiel: Aus der Gültigkeit von „Wenn zwei Dreiecke in zwei Winkeln übereinstimmen, dann sind sie zueinander ähnlich“ folgt die Gültigkeit von „Wenn zwei Dreiecke nicht zueinander ähnlich sind, dann stimmen sie auch nicht in zwei Winkeln überein“.
Französische Briefmarke aus dem Jahre 2001 mit der fermatschen Vermutung, die erst im Jahre 1994 bewiesen werden konnte.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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