Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik Abitur
  3. 1 Denk- und Arbeitsweisen der Mathematik
  4. 1.2 Grundbegriffe der Mathematik
  5. 1.2.5 Beweise
  6. Direkter Beweis

Direkter Beweis

Die Struktur des direkten Beweises besteht darin, dass aus der Voraussetzung des Satzes sowie bereits bekannten Tatsachen (Definitionen, Axiomen bzw. Sätzen) mithilfe gültiger Schlussregeln direkt die Wahrheit der Behauptung gezeigt wird.
Beim Suchen von Beweisideen können zwei Strategien helfen: das sogenannte Vorwärtsarbeiten und das sogenannte Rückwärtsarbeiten.

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

Prozess der Beweisfindung

Wir betrachten den Prozess der Beweisfindung an einem Beispiel und wählen dazu den folgenden Sachverhalt aus:

  • Beispiel 1: Die Summe von Primzahlzwillingen p   u n d   p + 2   ( m i t   p ≥ 5 ) ist stets durch 12 teilbar.

(1) Aufbau eines Suchfeldes

Analyse des Sachverhalts
Die „Wenn, dann“-Form des Satzes lautet: Wenn z die Summe von Primzahlzwillingen ist, so gilt 12   |   z . Damit lassen sich die Voraussetzung ( p ,     p + 2 ∈ P ;       p ≥ 5 ) und die Behauptung ( 12   |   z ) ablesen.

Der Satz stellt eine Allaussage dar, von der noch nicht feststeht, ob sie wahr oder falsch ist. Eine Allaussage widerlegt man durch Angabe eines Gegenbeispiels; ihre Wahrheit zeigt man durch einen Beweis.

Betrachten von Beispielen
            5 + 7 = 12       29 + 31 = 60     11 + 13 = 24     41 + 43 = 84   17 + 19 = 36     ...
In jedem dieser Beispiele ist die Summe in der Tat durch 12 teilbar.

Umstrukturierung des Wissensspeichers
Was ist eine Primzahl? Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl (größer als 1), die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. 0 und 1 sind weder Primzahlen noch zusammengesetzte Zahlen. Die kleinste (und einzige gerade) Primzahl ist die 2. Primzahlzwillinge sind Primzahlen, die sich um 2 unterscheiden.
Wann ist eine Zahl durch 12 teilbar? Wenn eine Zahl durch 3 und durch 4 teilbar ist, so ist diese Zahl auch durch 12 teilbar.

(2) Bearbeitung des Suchfeldes (Finden einer Beweisidee)

Beim Suchen von Beweisideen können zwei Strategien helfen: das sogenannte Vorwärtsarbeiten und das sogenannte Rückwärtsarbeiten.

Beim Vorwärtsarbeiten geht man von den gegebenen Voraussetzungen aus und stellt sich eine Reihe typischer Fragen wie etwa die folgenden:

  • Was ist bekannt? Was weiß man über die Figur?
  • Wie kann man das Bekannte mathematisch erfassen und aufschreiben?
  • Was folgt aus den Voraussetzungen?
  • Welche Sätze mit gleichen oder ähnlichen Voraussetzungen sind bekannt?

Beim Rückwärtsarbeiten geht man von der zu beweisenden Behauptung aus. Typische Fragen bei diesem Vorgehen sind:

  • Wie heißt die Behauptung?
  • Kennt man Sätze mit gleicher oder ähnlicher Behauptung?
  • Welche dieser Sätze haben die gleichen Voraussetzungen wie der behauptete Satz oder lassen sich solche Voraussetzungen schaffen?

Für unser anstehendes Beweisproblem scheint das Vorwärtsarbeiten günstig zu sein: In Auswertung der Voraussetzungen ist zu zeigen, dass 3 Teiler der Summe ist und dass 4 Teiler der Summe ist. Daraus würde die Behauptung folgen.

(3) Durchführung des Beweises

  1. Voraussetzung:
      p ,     p + 2 ∈ P ;         p + ( p + 2 ) = z
  2. Behauptung:
    12   |   z
  3. Beweis:
FeststellungBegründung
p + ( p + 2 ) = 2 ⋅ ( p + 1 ) = z Umformen der Voraussetzung
p + 1 ist eine gerade Zahl.Der Nachfolger einer ungeraden Zahl ist gerade.
4   |   z 4 teilt stets das Doppelte einer geraden Zahl.
p ,       p + 1,       p + 2 3   |   p + 1 Von drei aufeinander folgenden Zahlen ist stets eine durch 3 teilbar.
12   |   z Da 4 und 3 Teiler von z sind.
(w.z.b.w.)

Ausgehend von dem betrachteten Beispiel lässt sich die Struktur des direkten Beweises abheben:
Aus der Voraussetzung des Satzes sowie bereits bekannten Tatsachen (Definitionen, Lehrsätze) wird mithilfe einer endlichen Anzahl gültiger Schlussregeln direkt die Wahrheit der Behauptung gezeigt.

Beweisführung mittels Rückwärtsarbeitens

Im Folgenden soll auch das Rückwärtsarbeiten beim Beweisen demonstriert werden. Dazu betrachten wir den folgenden Satz:

  • Beispiel 2: Wenn ABCD ein Sehnenviereck ist, so ist die Summe der Gegenwinkel 180   ° .
  1. Voraussetzung:
    ABCD ist Sehnenviereck.
  2. Behauptung:
    α + γ = 180   ° β + δ       = 180   °    

Bild

Das Rückwärtsarbeiten fragt nach Sätzen mit gleicher oder ähnlicher Behauptung (hier: Winkelsumme von 180   ° ).

Welche Sätze sind also bekannt, die etwas über Winkel und Winkelsummen, die 180   ° betragen, aussagen? In Beantwortung der Frage entsteht etwa folgender umstrukturierter Wissensspeicher:

  • Innenwinkelsatz für Dreiecke ( α + β + γ = 180   ° )
  • Nebenwinkelsatz ( α + β = 180   ° )
  • Innenwinkelsatz für Vierecke ( α + β + γ + δ = 360   ° )
  • Entgegengesetzt liegende Winkel an geschnittenen Parallelen ergänzen sich zu 180   ° .
  • Bestimmte Nachbarwinkelpaare im Parallelogramm ergänzen sich zu 180   ° .
  • Bestimmte Nachbarwinkelpaare im Trapez ergänzen sich zu 180   ° .

Welche dieser Sätze lassen sich anwenden? Der zweite, vierte, fünfte und sechste Satz entfallen sofort, da deren Voraussetzungen mit denen unseres zu beweisenden Satzes nicht vereinbar sind. Bleiben also der erste und der dritte Satz, wobei der Innenwinkelsatz für Dreiecke den größten Bezug aufweist.

Bild

In der Figur sind zwar keine Dreiecke vorhanden, doch durch Einzeichnen von Hilfslinien lassen sich welche erzeugen. Als Möglichkeiten bieten sich an (siehe Bild):
(1) Einzeichnen der Diagonalen
(2) Einzeichnen der Radien vom Mittelpunkt M zu den Eckpunkten des Sehnenvierecks

Im ersten Fall sind beliebige Dreiecke, im zweiten gleichschenklige Dreiecke (mit jeweils gleich großen Basiswinkeln) entstanden. Im zweiten Fall lässt sich die Idee, den Innenwinkelsatz für Dreiecke anzuwenden, nutzbringend realisieren.

  1. Beweis:

Ziel ist zu zeigen, dass α + γ = 180   ° gilt. Aufschreiben der Innenwinkelbeziehungen (anhand der Bezeichnungen im Bild) für die vier Teildreiecke bei gleichzeitigem Ersetzen der Teilwinkel von β und δ durch die entsprechenden Teilwinkel von α und γ ergibt:
  2 α 1 + ε 1 = 180   °   2 γ 1 + ε 2 = 180   °   2 γ 2 + ε 3 = 180   °   2 α 2 + ε 4 = 180   °

Addition dieser Gleichungen ergibt
  2 α 1 + 2 α 2 + 2 γ 1 + 2 γ 2 = 360   °

und weiter
  ( α 1 + α 2 ) + ( γ 1 + γ 2 ) = α + γ = 180   ° .

Analog folgt
  β + δ = 180   ° .

Anmerkung: Ein Vorteil des Rückwärtsarbeitens besteht insbesondere in der Erschließung notwendiger Hilfslinien.

  • Figur zur Beweisfindung (beim Rückwärtsarbeiten)
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Direkter Beweis." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/direkter-beweis (Abgerufen: 20. May 2025, 18:38 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • direkter Beweis
  • Innenwinkelsumme
  • indirekter Beweis
  • Primzahlen
  • Beweisidee
  • Innenwinkel
  • Voraussetzung
  • Sehnenviereck
  • Vorwärtsarbeiten
  • Dreiecke
  • Beweisen
  • Rückwärtsarbeiten
  • Behauptung
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Beweise unter Verwendung von Vektoren

Sätze der ebenen Geometrie lassen sich mithilfe von Vektoren mitunter sehr knapp und übersichtlich beweisen. Auf der Grundlage entsprechender Figuren, in denen die relevanten Stücke vektoriell gekennzeichnet werden, formuliert man Voraussetzungen und Behauptung jeweils mittels Vektoren und versucht, durch logische Schlüsse unter Verwendung der Rechengesetze für Vektoren den Beweis zu führen.
Bereits Addition und Vervielfachung von Vektoren können dabei sehr hilfreich sein, die Hinzunahme multiplikativer Verknüpfungen und deren Eigenschaften erschließen weitere Anwendungsmöglichkeiten. Die folgenden Beispiele illustrieren diese Vorgehensweise.

Stammfunktionen

Eine Grundaufgabe der Differenzialrechnung besteht im Ermitteln der Ableitungsfunktion f‘ zu einer gegebenen Funktion f.
Wird diese Aufgabenstellung umgekehrt, d.h., sucht man zu einer gegebenen Funktion f eine Funktion F, deren Ableitungsfunktion F‘ gleich f ist, so kommt man zur Grundaufgabe der Integralrechnung und zum Begriff der Stammfunktion.     

Dedekindscher Schnitt

Durch einen dedekindschen Schnitt t werden Zahlenmengen in ein Paar Teilmengen A und B so zerlegt, dass für jedes a ∈ A und jedes b ∈ B die Beziehung a ≤ t ≤ b gilt (wobei t eine reelle Zahl ist).
Man kann dedekindsche Schnitte in der Menge ℚ der rationalen Zahlen benutzen, um die Menge der reellen Zahlen ℝ zu definieren.

Reelle Zahlen

Der Bereich der rationalen Zahlen und der Bereich der irrationalen Zahlen bilden zusammen den Bereich der reellen Zahlen.
Reelle Zahlen lassen sich auf der Zahlengeraden darstellen, dabei gehört zu jeder reellen Zahl genau ein Punkt und zu jedem Punkt genau eine reelle Zahl.
Für das Rechnen mit reellen Zahlen gelten im Prinzip die gleichen Regeln und Gesetze wie im Bereich der rationalen Zahlen. Anstelle mit reellen Zahlen rechnet man häufig mit deren rationalen Nährungswerten.

Axiomensysteme

Durch Axiomensysteme werden mathematische Begriffe mithilfe einer Reihe von einfachen Festlegungen, die man Axiome nennt, charakterisiert.
An ein mathematisches Axiomensystem werden eine Reihe von Bedingungen gestellt. So sollte es z.B. widerspruchsfrei sein.

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025