Die cardanische Formel

Die kubische Gleichung (oder Gleichung dritten Grades) hat folgende allgemeine Form:
Ax3+Bx2+Cx+D=0(A0)
Nach Division durch A ergibt sich daraus:
x3+ax2+bx+c=0

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat eine kubische Gleichung genau drei Lösungen.

Für praktische Anwendungen hat die cardanische Formel allerdings wenig Bedeutung, die Beschäftigung mit ihr vermittelt aber Eindrücke vom mathematischen Herangehen an das Lösen von Gleichungen.

Die Herleitung der Lösungsformel ist sehr kompliziert und kann hier nur angedeutet werden. Durch die Substitution x=za3 erhält man eine kubische Gleichung mit der Unbekannten z, bei der (im Unterschied zur Originalgleichung) aber das quadratische Glied fehlt. Das heißt, aus
(za3)3+a(za3)2+b(za3)+c=0

ergibt sich nach Ausführen der Multiplikationen und Zusammenfassen:
z3+pz+q=0mitp=ba23undq=ab3227a3c

Auf diese reduzierte Form der kubischen Gleichung bezieht sich die folgende cardanische Lösungsformel :
z=q2+(q2)2+p3273+q2(q2)2+p3273
Daraus ergibt sich x, nämlich durch x=za3.

  • Beispiel 1: x32x4=0

In dieser kubischen Gleichung fehlt (bereits) das quadratische Glied. Das Einführen einer neuen Unbekannten ist also nicht erforderlich, die Lösungsformel kann unmittelbar eingesetzt werden.

Es ist p=2undq=4 und somit folgt:
x=2+4+(23)33+24+(23)332+3,7037043+23,70370431,577350+0,4226491,999999
Die exakte Lösung ist x=2.

Durch die Polynomdivision (x3+2x4):(x2) erhält man das quadratische Polynom x2+2x+2=0, womit die Bestimmung der beiden weiteren Lösungen der kubischen Gleichung auf das Lösen einer quadratischen Gleichung zurückgeführt ist. Da x2+2x+2=0 keine reellen Lösungen besitzt, hat also die gegebene kubische Gleichung in der Menge der reellen Zahlen nur die oben ermittelte Lösung x=2.

  • Beispiel 2: x36x2+11x6=0

Mit a=6 und der Substitution x=z+2 ergibt sich:
(z+2)36(z+2)2+11(z+2)6=0z3z=0

Das ließe sich nun einfach durch Produktdarstellung lösen, aus z(z21)=z(z1)(z+1)=0 erhielte man z1=0,z2=1undz3=1, woraus wegen x=z+2 folgt:
x1=2,x2=3undx3=1

Wir wollen trotzdem für die kubische Gleichung z3z=0 die Lösungsformel anwenden (wobei p=1undq=0 ist):
x=0+0+(13)33+00+(13)330+0,0370373+00,0370373

Die Formel versagt im Reellen! Um hier weiterzumachen, müsste der Bereich der reellen Zahlen verlassen werden, was aber im Allgemeinen nicht Gegenstand der Schulmathematik ist.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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