Differenziationsverfahren

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Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Differenziationsverfahren." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/differenziationsverfahren (Abgerufen: 21. May 2025, 03:54 UTC)

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Ableitung einer Funktion

Existiert an der Stelle $x_{0}$ des Definitionsbereiches einer Funktion f der Grenzwert
$\lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}$ ,
so wird dieser als Ableitung oder Differenzialquotient von f an der Stelle $x_{0}$ bezeichnet.
Die Ableitung gibt den Anstieg des Funktionsgraphen an der Stelle $x_{0}$ an.

Ableitungsfunktion

Existiert der Differenzialquotient einer Funktion $y = f (x)$ für alle Punkte eines Intervalls, so ist die Funktion im ganzen Intervall differenzierbar. Jedem x-Wert des Intervalls ist ein Wert des Differenzialquotienten zugeordnet, der also wiederum eine Funktion von x ist. Man nennt diese die abgeleitete Funktion oder Ableitungsfunktion (oder kurz Ableitung):
$f^{'} : x \to f^{'} (x)$
Anmerkung: f heißt Stammfunktion zu $f^{'}$ .

Partielle Ableitungen

Für eine Funktion mit einer Gleichung $y = f (x)$ , also für eine Funktion mit genau einer unabhängigen Variablen x, ist die erste Ableitung $y' = f' (x_{0})$ an einer Stelle $x_{0}$ erklärt durch den Grenzwert des Differenzenquotienten an dieser Stelle:
$f' (x_{0}) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}$

Interpretiert man diesen Grenzwert geometrisch, so gibt er den Anstieg der Tangente an den Graphen von f im Punkte $P_{0} (x_{0}; f (x_{0}))$ an.

Es sei nun $z = f (x, y)$ die Gleichung einer Funktion f mit zwei unabhängigen Variablen x und y. Betrachtet man diese Funktion für ein konstantes $y = y_{0}$ , so erhält man eine Funktion $z = f (x, y_{0})$ mit nunmehr nur einer unabhängigen Variablen x, für die man wie oben angegeben den Grenzwert des Differenzenquotienten an einer Stelle $x_{0}$ aufstellen kann. Existiert dieser Grenzwert, so nennt man ihn die partielle Ableitung erster Ordnung der Ausgangsfunktion $z = f (x, y)$ nach x an der Stelle $(x_{0}; y_{0})$ und schreibt:
$f_{x} (x_{0}; y_{0}) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})}{h}$

Grafisches Differenzieren

Die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle $x_{0}$ gibt bekanntermaßen den Anstieg der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt $P_{0} (x_{0}; f (x_{0}))$ an.
Ebenso spricht man vom Anstieg des Graphen im Punkt $P_{0}$ .
Im Folgenden wird ein Verfahren zur Bestimmung der Ableitung an einer Stelle $x_{0}$ mittels zeichnerischen oder grafischen Differenzierens vorgestellt.

Ermitteln lokaler Extrema

Im Folgenden wird ein Anwendungsbeispiel zu lokalen Extrema betrachtet.

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