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Grafisches Differenzieren

Die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x 0 gibt bekanntermaßen den Anstieg der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt P 0 ( x 0 ;   f ( x 0 ) ) an.
Ebenso spricht man vom Anstieg des Graphen im Punkt P 0 .
Im Folgenden wird ein Verfahren zur Bestimmung der Ableitung an einer Stelle x 0 mittels zeichnerischen oder grafischen Differenzierens vorgestellt.

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Der Anstieg der Tangente an den Graphen einer Funktion im Punkt P 0 kann mithilfe einer Zeichnung näherungsweise bestimmt werden. Damit erhält man sofort einen Näherungswert für die Ableitung der Funktion an der Stelle x 0 .

Bild

Ein derartiges Verfahren zum Bestimmen der Ableitung an einer Stelle x 0 heißt zeichnerisches oder grafisches Differenzieren.

 

  • Beispiel: Für die Sinusfunktion f ( x ) = sin x soll die Ableitung an den Stellen x 0 = { − π ;   − π 2 ;   − π 3 ;   0 ;   π 2 ;   2 3 π ;   π ;   3 2 π ;   2 π } grafisch ermittelt werden.

Schrittfolge zur Lösung:
1. Die Funktion f ( x ) = sin x wird im Intervall [ − π ;   2 π ] grafisch dargestellt.
2. An den vorgegebenen Stellen werden die Tangenten an den Funktionsgraphen gezeichnet.
3. Mithilfe von Anstiegsdreiecken wird der Anstieg an den einzelnen Stellen x 0 abgelesen.

  • Graph der Sinusfunktion mit Tangenten und Anstiegsdreiecken

Die folgende Tabelle enthält für die ausgewählten Stellen x 0 die zugeordneten zeichnerisch ermittelten Ableitungswerte f ′ ( x 0 )   :

Bild

Diese Tabelle kann als Wertetabelle einer neuen Funktion aufgefasst werden. Sie ist dadurch entstanden, dass den Stellen x 0 der Funktion f mit f ( x ) = sin x ihre Ableitung f ′ ( x 0 )   zugeordnet wurde. Diese Zuordnung stellt wieder eine Funktion dar und heißt Ableitungsfunktion der Funktion f.

Sind keine Missverständnisse zu befürchten, so spricht man auch kurz von Ableitung anstelle von Ableitungsfunktion. Man muss aber stets bedenken, dass begrifflich zwischen Ableitung an einer Stelle x 0 als einer reellen Zahl und der Ableitung als einer neuen Funktion zu unterscheiden ist.

Die Ableitungsfunktion der Funktion f ( x ) = sin x kann nun mithilfe der Wertetabelle dargestellt werden. Der Verlauf lässt vermuten, dass für die Ableitungsfunktion der Sinusfunktion f ′ ( x ) = cos x gilt.

  • Die Graphen der Sinusfunktion und ihrer Ableitungsfunktion
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Grafisches Differenzieren." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/grafisches-differenzieren (Abgerufen: 17. September 2025, 14:35 UTC)

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  f ′ :     x → f ′ ( x )
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Gottfried Wilhelm Leibniz

* 1. Juli 1646 Leipzig
† 14. November 1716 Hannover

GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ war einer der letzen Universalgelehrten der Neuzeit. Bedeutende wissenschaftliche Leistungen vollbrachte er auf mathematischem und philosophischem Gebiet, aber auch als Physiker und Techniker, Geschichts- und Sprachforscher bzw. Jurist.

Bezüglich der Mathematik sind vor allem seine Arbeiten zur Infinitesimalrechnung sowie zur Logik (Formalisierung der Mathematik) zu nennen. Sein um 1675 entwickelter (aber erst ab 1682 publizierter) „Calculus“ enthält Differenziationszeichen, Regeln zum Differenzieren sowie Aussagen zu Extremwerten und Wendepunkten. Auf LEIBNIZ zurück gehen auch das Integralzeichen sowie die Begriffe Differenzial- und Integralrechnung, Funktion und Koordinaten. Schon vor 1683 entwickelte er eine mechanische Rechenmaschine. LEIBNIZ war Begründer und zugleich erster Präsident der Berliner Akademie der Wissenschaften.

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* 04. Januar 1643 Woolsthorpe
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