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Grafisches Differenzieren

Die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x 0 gibt bekanntermaßen den Anstieg der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt P 0 ( x 0 ;   f ( x 0 ) ) an.
Ebenso spricht man vom Anstieg des Graphen im Punkt P 0 .
Im Folgenden wird ein Verfahren zur Bestimmung der Ableitung an einer Stelle x 0 mittels zeichnerischen oder grafischen Differenzierens vorgestellt.

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Der Anstieg der Tangente an den Graphen einer Funktion im Punkt P 0 kann mithilfe einer Zeichnung näherungsweise bestimmt werden. Damit erhält man sofort einen Näherungswert für die Ableitung der Funktion an der Stelle x 0 .

Bild

Ein derartiges Verfahren zum Bestimmen der Ableitung an einer Stelle x 0 heißt zeichnerisches oder grafisches Differenzieren.

 

  • Beispiel: Für die Sinusfunktion f ( x ) = sin x soll die Ableitung an den Stellen x 0 = { − π ;   − π 2 ;   − π 3 ;   0 ;   π 2 ;   2 3 π ;   π ;   3 2 π ;   2 π } grafisch ermittelt werden.

Schrittfolge zur Lösung:
1. Die Funktion f ( x ) = sin x wird im Intervall [ − π ;   2 π ] grafisch dargestellt.
2. An den vorgegebenen Stellen werden die Tangenten an den Funktionsgraphen gezeichnet.
3. Mithilfe von Anstiegsdreiecken wird der Anstieg an den einzelnen Stellen x 0 abgelesen.

  • Graph der Sinusfunktion mit Tangenten und Anstiegsdreiecken

Die folgende Tabelle enthält für die ausgewählten Stellen x 0 die zugeordneten zeichnerisch ermittelten Ableitungswerte f ′ ( x 0 )   :

Bild

Diese Tabelle kann als Wertetabelle einer neuen Funktion aufgefasst werden. Sie ist dadurch entstanden, dass den Stellen x 0 der Funktion f mit f ( x ) = sin x ihre Ableitung f ′ ( x 0 )   zugeordnet wurde. Diese Zuordnung stellt wieder eine Funktion dar und heißt Ableitungsfunktion der Funktion f.

Sind keine Missverständnisse zu befürchten, so spricht man auch kurz von Ableitung anstelle von Ableitungsfunktion. Man muss aber stets bedenken, dass begrifflich zwischen Ableitung an einer Stelle x 0 als einer reellen Zahl und der Ableitung als einer neuen Funktion zu unterscheiden ist.

Die Ableitungsfunktion der Funktion f ( x ) = sin x kann nun mithilfe der Wertetabelle dargestellt werden. Der Verlauf lässt vermuten, dass für die Ableitungsfunktion der Sinusfunktion f ′ ( x ) = cos x gilt.

  • Die Graphen der Sinusfunktion und ihrer Ableitungsfunktion
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Grafisches Differenzieren." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/grafisches-differenzieren (Abgerufen: 20. May 2025, 06:03 UTC)

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Sir Isaac Newton

* 04. Januar 1643 Woolsthorpe
† 20./21. März 1727 London

ISAAC NEWTON gilt als Begründer der klassischen Mechanik. Er entdeckte das Gravitationsgesetz sowie die nach ihm benannten newtonschen Axiome (Trägheitsgesetz, Grundgesetz der Mechanik und Wechselwirkungsprinzip).
NEWTON formulierte – etwa zur gleichen Zeit wie der deutsche Gelehrte GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646 bis 1716) und unabhängig von diesem – Grundthesen der Infinitesimalrechnung. Insbesondere arbeitete er den Zusammenhang von Differenzieren und Integrieren heraus.

Ableitung einer Funktion

Existiert an der Stelle x 0 des Definitionsbereiches einer Funktion f der Grenzwert
  lim h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h ,
so wird dieser als Ableitung oder Differenzialquotient von f an der Stelle x 0 bezeichnet.
Die Ableitung gibt den Anstieg des Funktionsgraphen an der Stelle x 0 an.

Ableitungen höherer Ordnung

Höhere Ableitungen einer Funktion f gestatten Rückschlüsse auf den Verlauf des Funktionsgraphen.
Ein Beispiel praktischer Anwendung höherer Ableitungen stellt die Untersuchung von Bewegungsabläufen in der Physik (etwa der Anfahrfunktion eines Kraftfahrzeuges) dar. Geschwindigkeit und Beschleunigung sind hier als erste bzw. zweite Ableitung des Weges nach der Zeit definiert.

Partielle Ableitungen

Für eine Funktion mit einer Gleichung y = f ( x ) , also für eine Funktion mit genau einer unabhängigen Variablen x, ist die erste Ableitung y ' = f ' ( x 0 ) an einer Stelle x 0 erklärt durch den Grenzwert des Differenzenquotienten an dieser Stelle:
f ' ( x 0 ) = lim h   →   0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h

Interpretiert man diesen Grenzwert geometrisch, so gibt er den Anstieg der Tangente an den Graphen von f im Punkte P 0 ( x 0 ;     f ( x 0 ) ) an.

Es sei nun z = f ( x ,     y ) die Gleichung einer Funktion f mit zwei unabhängigen Variablen x und y. Betrachtet man diese Funktion für ein konstantes y = y 0 , so erhält man eine Funktion z = f ( x ,     y 0 ) mit nunmehr nur einer unabhängigen Variablen x, für die man wie oben angegeben den Grenzwert des Differenzenquotienten an einer Stelle x 0 aufstellen kann. Existiert dieser Grenzwert, so nennt man ihn die partielle Ableitung erster Ordnung der Ausgangsfunktion z = f ( x ,     y ) nach x an der Stelle ( x 0 ;     y 0 ) und schreibt:
f x ( x 0 ;     y 0 ) = lim h   →   0 f ( x 0 + h ,     y 0 ) − f ( x 0 ,     y 0 ) h

Differenzierbarkeit von Funktionen

Die Definitionen von Differenzierbarkeit und Stetigkeit führen zu der Folgerung, eine Funktion f kann an einer Stelle x 0 stetig, aber nicht differenzierbar sein.
Ist f in x 0 allerdings differenzierbar, dann ist sie in x 0 auch stetig.

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