Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik Abitur
  3. 6 Differenzialrechnung
  4. 6.6 Extremwertprobleme
  5. 6.6.0 Überblick
  6. Extremwertprobleme in der Wirtschaft

Extremwertprobleme in der Wirtschaft

Viele Prozesse im Wirtschaftsleben lassen sich mithilfe von Funktionen beschreiben. Durch eine mathematische Modellbildung ist man dann in der Lage, über Optimierungsmöglichkeiten in dem vorliegenden Sachverhalt gezielt nachzudenken. Oft steht dabei die Frage der Gewinnmaximierung bzw. die Minimierung der Produktions- oder Vertriebskosten im Mittelpunkt.

Das Vorgehen beim Lösen einer solchen Extremwertaufgabe soll im Folgenden durch ein Beispiel verdeutlicht werden.

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

Beispiel: Ein Warenhaus verkauft jedes Jahr ca. 120 Autokindersitze, die je Stück 80   € kosten. Die Lieferungen der Sitze vom Hersteller an das Warenhaus sollen gleichmäßig über das Jahr verteilt werden und in k Teilen zu x Stück erfolgen. Dabei wird angestrebt, die Kosten für das Warenhaus möglichst klein zu halten. Eine Lieferung verursacht Kosten von 22,50   € für den Transport. Die Kosten für die Zwischenlagerung der Sitze betragen 0,75   € pro Stück der Lieferung.

Wie viele Lieferungen sollte das Warenhaus mit dem Hersteller vereinbaren, damit möglichst geringe Gesamtkosten entstehen?

Als ersten Schritt versucht man, eine Zielfunktion für die Gesamtkosten aufzustellen. Sie lautet:
K g e s = K 1 + K 2 + K 3
Dabei sind
K 1 die Kosten für die Kindersitze,
K 2 die Transportkosten und
K 3 die Kosten für die Zwischenlagerung jeweils in Euro.

Damit ergibt sich folgende analytische Beschreibung der Gesamtkosten in Euro:
K g e s = 120 ⋅ 80 + 22,5 ⋅ k + 0,75 ⋅ x

Diese Funktion ist jedoch schwer zu untersuchen, da sie noch zwei Variable, die Anzahl der Lieferungen k und die Anzahl der Sitze pro Lieferung x enthält. Da 120 Sitze benötigt werden, besteht jedoch zwischen diesen beiden Variablen der Zusammenhang x ⋅ K = 120 , den wir als Nebenbedingung bezeichnen.

Arbeitet man diese Nebenbedingung in die obige Funktion ein, so ergibt sich:
K g e s ( k ) = 9600 + 22,5 ⋅ k + 0,75 ⋅ 10 k = 9600 + 22,5 ⋅ k + 90 k

Zur Ermittlung der Extremstellen dieser Funktion bildet man hiervon die 1. Ableitung:
K g e s ′ ( k ) = 22,5 − 90 k 2

Mögliche Extremstellen der Zielfunktion sind die Nullstellen der 1. Ableitung. Es gilt:
0 = 22,5 − 90 k 2
k 2 = 4 , also k 1 = 2 ;   k 2 = − 2

Die Lösung k = - 2 entfällt, da der Definitionsbereich der Zielfunktion auf positive k-Werte einzuschränken ist.

Mithilfe der 2. Ableitung K ′ ′ ( g e s ) = 180 k 3 kann man feststellen, dass die Zielfunktion bei k = 2 ein lokales Minimum besitzt. Es gilt nämlich:
K ′ ′ ( g e s ) = 180 8 > 0

Da die Zielfunktion im eingeschränkten Definitionsbereich stetig ist und dort nur eine lokale Extremstelle gefunden wurde, muss das lokale Extremum auch ein globales Extremum der Funktion sein. Zum gleichen Ergebnis gelangte man, wenn man das Verhalten der Zielfunktion an den Rändern des Definitionsbereiches untersuchen würde.

Anhand der dargestellten Untersuchungen gelangt man zu dem Ergebnis, dass bei der Organisation von zwei Lieferungen die Gesamtkosten für das Warenhaus ein Minimum annehmen.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Extremwertprobleme in der Wirtschaft." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/extremwertprobleme-der-wirtschaft (Abgerufen: 09. June 2025, 17:30 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • Extremwert
  • Wurfbewegung
  • interaktives Rechenbeispiel
  • globales Extremum
  • Mathcad
  • Parabel
  • Steigzeit
  • Geschwindigkeitsfunktion
  • Wurfhöhe
  • Differenzialrechnung
  • Ableitung
  • Steighöhe
  • Wurf
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Ableitung einer Funktion

Existiert an der Stelle x 0 des Definitionsbereiches einer Funktion f der Grenzwert
  lim h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h ,
so wird dieser als Ableitung oder Differenzialquotient von f an der Stelle x 0 bezeichnet.
Die Ableitung gibt den Anstieg des Funktionsgraphen an der Stelle x 0 an.

Ableitungen höherer Ordnung

Höhere Ableitungen einer Funktion f gestatten Rückschlüsse auf den Verlauf des Funktionsgraphen.
Ein Beispiel praktischer Anwendung höherer Ableitungen stellt die Untersuchung von Bewegungsabläufen in der Physik (etwa der Anfahrfunktion eines Kraftfahrzeuges) dar. Geschwindigkeit und Beschleunigung sind hier als erste bzw. zweite Ableitung des Weges nach der Zeit definiert.

Partielle Ableitungen

Für eine Funktion mit einer Gleichung y = f ( x ) , also für eine Funktion mit genau einer unabhängigen Variablen x, ist die erste Ableitung y ' = f ' ( x 0 ) an einer Stelle x 0 erklärt durch den Grenzwert des Differenzenquotienten an dieser Stelle:
f ' ( x 0 ) = lim h   →   0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h

Interpretiert man diesen Grenzwert geometrisch, so gibt er den Anstieg der Tangente an den Graphen von f im Punkte P 0 ( x 0 ;     f ( x 0 ) ) an.

Es sei nun z = f ( x ,     y ) die Gleichung einer Funktion f mit zwei unabhängigen Variablen x und y. Betrachtet man diese Funktion für ein konstantes y = y 0 , so erhält man eine Funktion z = f ( x ,     y 0 ) mit nunmehr nur einer unabhängigen Variablen x, für die man wie oben angegeben den Grenzwert des Differenzenquotienten an einer Stelle x 0 aufstellen kann. Existiert dieser Grenzwert, so nennt man ihn die partielle Ableitung erster Ordnung der Ausgangsfunktion z = f ( x ,     y ) nach x an der Stelle ( x 0 ;     y 0 ) und schreibt:
f x ( x 0 ;     y 0 ) = lim h   →   0 f ( x 0 + h ,     y 0 ) − f ( x 0 ,     y 0 ) h

Differenzierbarkeit von Funktionen

Die Definitionen von Differenzierbarkeit und Stetigkeit führen zu der Folgerung, eine Funktion f kann an einer Stelle x 0 stetig, aber nicht differenzierbar sein.
Ist f in x 0 allerdings differenzierbar, dann ist sie in x 0 auch stetig.

Grafisches Differenzieren

Die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x 0 gibt bekanntermaßen den Anstieg der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt P 0 ( x 0 ;   f ( x 0 ) ) an.
Ebenso spricht man vom Anstieg des Graphen im Punkt P 0 .
Im Folgenden wird ein Verfahren zur Bestimmung der Ableitung an einer Stelle x 0 mittels zeichnerischen oder grafischen Differenzierens vorgestellt.

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025