Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik Abitur
  3. 6 Differenzialrechnung
  4. 6.6 Extremwertprobleme
  5. 6.6.0 Überblick
  6. Extremwertprobleme in der Wirtschaft

Extremwertprobleme in der Wirtschaft

Viele Prozesse im Wirtschaftsleben lassen sich mithilfe von Funktionen beschreiben. Durch eine mathematische Modellbildung ist man dann in der Lage, über Optimierungsmöglichkeiten in dem vorliegenden Sachverhalt gezielt nachzudenken. Oft steht dabei die Frage der Gewinnmaximierung bzw. die Minimierung der Produktions- oder Vertriebskosten im Mittelpunkt.

Das Vorgehen beim Lösen einer solchen Extremwertaufgabe soll im Folgenden durch ein Beispiel verdeutlicht werden.

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

Beispiel: Ein Warenhaus verkauft jedes Jahr ca. 120 Autokindersitze, die je Stück 80   € kosten. Die Lieferungen der Sitze vom Hersteller an das Warenhaus sollen gleichmäßig über das Jahr verteilt werden und in k Teilen zu x Stück erfolgen. Dabei wird angestrebt, die Kosten für das Warenhaus möglichst klein zu halten. Eine Lieferung verursacht Kosten von 22,50   € für den Transport. Die Kosten für die Zwischenlagerung der Sitze betragen 0,75   € pro Stück der Lieferung.

Wie viele Lieferungen sollte das Warenhaus mit dem Hersteller vereinbaren, damit möglichst geringe Gesamtkosten entstehen?

Als ersten Schritt versucht man, eine Zielfunktion für die Gesamtkosten aufzustellen. Sie lautet:
K g e s = K 1 + K 2 + K 3
Dabei sind
K 1 die Kosten für die Kindersitze,
K 2 die Transportkosten und
K 3 die Kosten für die Zwischenlagerung jeweils in Euro.

Damit ergibt sich folgende analytische Beschreibung der Gesamtkosten in Euro:
K g e s = 120 ⋅ 80 + 22,5 ⋅ k + 0,75 ⋅ x

Diese Funktion ist jedoch schwer zu untersuchen, da sie noch zwei Variable, die Anzahl der Lieferungen k und die Anzahl der Sitze pro Lieferung x enthält. Da 120 Sitze benötigt werden, besteht jedoch zwischen diesen beiden Variablen der Zusammenhang x ⋅ K = 120 , den wir als Nebenbedingung bezeichnen.

Arbeitet man diese Nebenbedingung in die obige Funktion ein, so ergibt sich:
K g e s ( k ) = 9600 + 22,5 ⋅ k + 0,75 ⋅ 10 k = 9600 + 22,5 ⋅ k + 90 k

Zur Ermittlung der Extremstellen dieser Funktion bildet man hiervon die 1. Ableitung:
K g e s ′ ( k ) = 22,5 − 90 k 2

Mögliche Extremstellen der Zielfunktion sind die Nullstellen der 1. Ableitung. Es gilt:
0 = 22,5 − 90 k 2
k 2 = 4 , also k 1 = 2 ;   k 2 = − 2

Die Lösung k = - 2 entfällt, da der Definitionsbereich der Zielfunktion auf positive k-Werte einzuschränken ist.

Mithilfe der 2. Ableitung K ′ ′ ( g e s ) = 180 k 3 kann man feststellen, dass die Zielfunktion bei k = 2 ein lokales Minimum besitzt. Es gilt nämlich:
K ′ ′ ( g e s ) = 180 8 > 0

Da die Zielfunktion im eingeschränkten Definitionsbereich stetig ist und dort nur eine lokale Extremstelle gefunden wurde, muss das lokale Extremum auch ein globales Extremum der Funktion sein. Zum gleichen Ergebnis gelangte man, wenn man das Verhalten der Zielfunktion an den Rändern des Definitionsbereiches untersuchen würde.

Anhand der dargestellten Untersuchungen gelangt man zu dem Ergebnis, dass bei der Organisation von zwei Lieferungen die Gesamtkosten für das Warenhaus ein Minimum annehmen.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Extremwertprobleme in der Wirtschaft." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/extremwertprobleme-der-wirtschaft (Abgerufen: 21. August 2025, 19:15 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • Extremwert
  • Wurfbewegung
  • interaktives Rechenbeispiel
  • globales Extremum
  • Mathcad
  • Parabel
  • Steigzeit
  • Geschwindigkeitsfunktion
  • Wurfhöhe
  • Differenzialrechnung
  • Ableitung
  • Steighöhe
  • Wurf
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Sir Isaac Newton

* 04. Januar 1643 Woolsthorpe
† 20./21. März 1727 London

ISAAC NEWTON gilt als Begründer der klassischen Mechanik. Er entdeckte das Gravitationsgesetz sowie die nach ihm benannten newtonschen Axiome (Trägheitsgesetz, Grundgesetz der Mechanik und Wechselwirkungsprinzip).
NEWTON formulierte – etwa zur gleichen Zeit wie der deutsche Gelehrte GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646 bis 1716) und unabhängig von diesem – Grundthesen der Infinitesimalrechnung. Insbesondere arbeitete er den Zusammenhang von Differenzieren und Integrieren heraus.

Monotonieverhalten von Funktionen

Im Folgenden soll der Zusammenhang zwischen Monotonie und 1. Ableitung untersucht werden.

Ermitteln lokaler Extrema

Im Folgenden wird ein Anwendungsbeispiel zu lokalen Extrema betrachtet.

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion

In den Natur- bzw. Technikwissenschaften versucht man, bestehende Sachverhalte mithilfe von Funktionen zu modellieren und zu beschreiben. Um die vorliegenden Zusammenhänge besser zu verstehen, ist es oft hilfreich, den Verlauf der entsprechenden Funktionsgraphen genauer zu untersuchen. Sofern keine Funktionsplotter zur Verfügung stehen, ist es notwendig, typische Eigenschaften der zu untersuchenden Funktion mithilfe geeigneter Methoden der Analysis zu bestimmen und den Funktionsgraphen danach zu zeichnen.

Ableitung einer Funktion

Existiert an der Stelle x 0 des Definitionsbereiches einer Funktion f der Grenzwert
  lim h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h ,
so wird dieser als Ableitung oder Differenzialquotient von f an der Stelle x 0 bezeichnet.
Die Ableitung gibt den Anstieg des Funktionsgraphen an der Stelle x 0 an.

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025