Ereignisalgebra

Die Menge aller Ereignisse, d.h. aller Teilmengen einer endlichen oder abzählbar unendlichen Ergebnismenge $\Omega$, nennt man Ereignisraum und bezeichnet sie mit $2^{\Omega }$ (bzw. in Anlehnung an den Begriff Potenzmenge) mit $P\left(\Omega \right)$.

Anmerkung: Der Begriff Ereignisraum wird statt des näher liegenden Begriffs Ereignismenge verwendet, weil im Ereignisraum noch (die Mengen-)Operationen Durchschnitt $(\cap )$ und Vereinigung $(\cup )$ zwischen seinen (als Mengen definierten) Ereignissen erklärt sind.
In Analogie dazu sind die Begriffe Vektorraum und Zahlenbereich mit den Operationen Addition, Multiplikation usw. statt der Begriffe Vektormenge und Zahlenmenge gebräuchlich.

Die folgende Übersicht enthält die Definitionen der wichtigsten Verknüpfungen zwischen zwei Ereignissen.

Enthält die Ergebnismenge $\Omega$ weder nur endlich viele (z.B. $\Omega =\left\{1;2;3;4;5;6\right\}$ beim Würfeln) noch höchstens abzählbar viele Ergebnisse (z.B. $\Omega =\left\{1;2;3;4;\mathrm{...}\right\}$ beim Warten auf die erste Sechs beim Würfeln), sondern überabzählbar viele Ergebnisse (z.B. $\Omega =\left[0;10\right]$ beim Warten auf die im 10-min-Takt fahrende Straßenbahn), so lässt sich auf $2^{\Omega }$, d.h. auf der Menge aller Teilmengen von $\Omega$, keine Wahrscheinlichkeitsverteilung im Sinne des kolmogorowschen Axiomensystems definieren.

Der Ereignisraum muss also in diesem Fall beschränkt werden auf eine echte Teilmenge von $2^{\Omega }$, auf die Menge aller der Teilmengen, denen man ein Wahrscheinlichkeitsverteilung zuordnen kann. Beispielsweise könnte man für $\Omega =\left[0;10\right]$ die Menge aller Teilintervalle von $\left[0;10\right]$ wählen.

In der Praxis hat es sich als günstig und richtig erwiesen von einer derartigen Menge von Ereignissen eines zufälligen Vorgangs, denen man eine Wahrscheinlichkeit zuordnen möchte, zu fordern, dass sie die folgenden Bedingungen einer Ereignisalgebra E erfüllt:

• Eine Ereignisalgebra E enthält mit je zwei Ereignissen A und B auch die Ereignisse $A\cup B$, $A\cap B$ sowie $\overline{A}$.

Für endliche Ergebnismengen $\Omega$ ist $2^{\Omega }$ nicht die einzige Ereignisalgebra über $\Omega$, d.h. mit der Wahl der Ereignisalgebra legt man sich fest, wie der betreffende zufällige Vorgang beschrieben werden soll.

• Beispiel: Es sei $\Omega =\left\{1;2;3\right\}$. Dann ist:
  $\begin{array}{l}{2}^{\Omega }=\left\{\varnothing ,\left\{1\right\},\left\{2\right\},\left\{3\right\},\left\{1;2\right\},\left\{1;3\right\},\left\{2;3\right\},\Omega \right\}\\ E=\left\{\varnothing ,\left\{1\right\},\left\{2;3\right\},\left\{1;2;3\right\}\right\}\end{array}$

Eine Ereignisalgebra E, versehen mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung P, die den drei kolmogorowschen Axiomen genügt, nennt man Wahrscheinlichkeitsalgebra $\left[E;P\right]$.