Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik Abitur
  3. 13 Wahrscheinlichkeitstheorie
  4. 13.1 Zufallsexperimente
  5. 13.1.2 Zufällige Ereignisse; Verknüpfen von Ereignissen
  6. Zufällige Ereignisse

Zufällige Ereignisse

Der mathematische Begriff des (zufälligen) Ereignisses ist für die Wahrscheinlichkeitstheorie von grundlegender Bedeutung.
Ausgehend von der Erfahrung, dass beim Ablauf zufälliger Vorgänge deren Ergebnis im Rahmen verschiedener Möglichkeiten ungewiss ist, ordnet man in der Wahrscheinlichkeitstheorie jedem Zufallsexperiment eine Ergebnismenge Ω zu.

  • Jede Teilmenge A der Ergebnismenge Ω eines Zufallsexperiments heißt (zufälliges) Ereignis A.

Spezielle Ereignisse sind das unmögliche und das sichere Ereignis, atomare Ereignisse, Gegenereignisse, unvereinbare sowie unabhängige Ereignisse.

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

Dies soll im Folgenden anhand verschiedener Beispiele verdeutlicht werden.

  1. Zufallsexperiment 1: Einmaliges Werfen eines Würfels
                      Ω = { 1 ;   2 ;   3 ;   4 ;   5 ;   6 }
    E r e i g n i s       A = { D i e       g e w ü r f e l t e       A u g e n z a h l       i s t       u n g e r a d e . } = { 1 ;   3 ;   5 }
  2. Zufallsexperiment 2: Zweimaliges Werfen eines Tetraeders
                      Ω = { ( t 1 ;   t 2 ) :       t 1 ,   t 2 ∈ { 1 ;   2 ;   3 ;   4 } }
    E r e i g n i s       B = { K e i n e       d e r       g e w ü r f e l t e n       A u g e n z a h l e n       i s t       u n g e r a d e . } = { ( 2 ;   2 ) ,   ( 2 ;   4 ) ,   ( 4 ;   2 ) ,   ( 4 ;   4 ) }
  3. Zufallsexperiment 3: Zehnmaliges Werfen eines Tetraeders
                      Ω = { ( t 1 ;   t 2 ;   ...   ;   t 10 ) :       t 1 ,   t 2 ,   ...,   t 10 ∈ { 1 ;   2 ;   3 ;   4 } }
    E r e i g n i s       C = { J e d e       d e r       e r s t e n       f ü n f       g e w ü r f e l t e n       A u g e n z a h l e n       i s t       u n g e r a d e . } = { ( t 1 ;   t 2 ;   ... ;   t 10 ) ∈ Ω     :       t 1 ,   t 2 ,   ...,   t 5 ∈ { 1 ;   3 } }

Anmerkung: Manchmal werden in der Literatur auch nur die Ereignisse „zufällig“ genannt, die weder sicher noch unmöglich sind.

Stellt sich bei einem Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge Ω das Ergebnis e mit der Eigenschaft A ein, so sagt man, dass Ereignis A tritt ein.

Ein Ereignis A tritt also ein, wenn eines seiner Ergebnisse e ( e ∈ A ) eintritt. Tritt ein Ergebnis e ( e ∈ Ω ) ein, so treten alle diejenigen Ereignisse ein, die eine Teilmenge von Ω sind und e enthalten.

Beispiel: Es sei Ω = { 0 ;   1 ;   2 } . Tritt das Ergebnis 1 ein, so treten die Ereignisse { 1 } ,       { 0 ;   1 } ,       { 1 ;   2 } und Ω ein.

Die Menge aller Teilmengen einer endlichen oder abzählbar unendlichen Ergebnismenge Ω eines Zufallsexperiments nennt man Ereignisraum und bezeichnet sie mit 2   Ω (Potenzmenge von Ω ).
Die Potenzmenge 2 Ω umfasst 2 |   Ω   | Ereignisse.

Beispiel: Es sei Ω = { 0 ;   1 ;   2 } .
⇒ 2 Ω = { ∅ ,   { 0 } ,   { 1 } ,   { 2 } ,   { 0 ;   1 } ,   { 0 ;   2 } ,   { 1 ;   2 } ,   { 0 ;   1 ;   2 } }   |   2 Ω   | = 2 |   Ω   | = 2 3 = 8

Spezielle Ereignisse

  • Die leere Menge ∅ heißt unmögliches Ereignis und es gilt:
    P ( ∅ ) = 0
  • Die Ergebnismenge Ω heißt sicheres Ereignis und es gilt:
    P ( Ω ) = 1
  • Ereignisse { e } , die genau ein Ergebnis aus Ω enthalten, heißen atomare Ereignisse oder auch Elementarereignisse.

Jeder Ereignisraum 2 Ω enthält genau | Ω | atomare Ereignisse.

Beispiel: Es sei Ω = { 0 ;   1 ;   2 } .
Dann gehören genau die drei atomaren Ereignisse { 0 } ,       { 1 }       u n d       { 2 } zu 2 Ω .

Anmerkung: In Literatur und Praxis wird manchmal nicht sauber zwischen Ergebnis e und atomarem Ereignis { e } unterschieden.

  • Das Gegenereignis (komplementäre Ereignis, entgegengesetzte Ereignis) A ¯ (lies: A quer) tritt genau dann ein, wenn A nicht eintritt.

Es gilt:
  A ∪ A ¯ = Ω     A ∩ A ¯ = ∅  

Beispiel: Es sei Ω = { 0 ;   1 ;   2 ;   3 ;   4 } .
A = { 1 ;   3 ;   4 } ⇒ A ¯ = { 0 ;   2 }

  • Die Ereignisse A ,   B ⊆ Ω heißen unvereinbar (oder mit dem Begriff der Mengentheorie: disjunkt) genau dann, wenn A ∩ B = ∅ gilt.

Beispiel: Es sei Ω = { 0 ;   1 ;   2 ;   3 ;   4 } .
A = { 1 ;   2 } ,   B = { 0 ;   3 } ⇒ A ∩ B = ∅ ⇒ A       u n d       B       sin d       u n v e r e i n b a r .
C = { 1 ;   2 } ,       D = { 2 ;   4 } ⇒ C ∩ D ≠ ∅ ⇒ C       u n d       D       sin d       n i c h t       u n v e r e i n b a r .

Gilt für die paarweise unvereinbaren Ereignisse A 1 ,   A 2 ,   ...,   A n ⊆ Ω die Gleichung A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n = Ω , so bilden sie eine Zerlegung von Ω .

Bild

  • Zwei Ereignisse A ,   B ⊆ Ω       m i t       P ( A ) > 0       u n d       P ( B ) > 0 heißen (stochastisch) unabhängig voneinander, wenn der Multiplikationssatz P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) gilt.

Beispiel: Wir betrachten folgende Elementarereignisse mit den in der folgenden Tabelle angegebenen Wahrscheinlichkeiten:

e1234
P ( { e } ) 0,20,30,20,3

Es gilt:
  A = { 1 ;   2 } ⇒ P ( A ) = 0,2 + 0,3 = 0,5   B = { 2 ;   4 } ⇒ P ( B ) = 0,3 + 0,3 = 0,6   P ( A ∩ B ) = P ( { 2 } ) = 0,3 = P ( A ) ⋅ P ( B )

Damit sind A und B voneinander unabhängige Ereignisse.

  • Drei Ereignisse A ,   B ,   C ⊆ Ω mit positiver Wahrscheinlichkeit heißen paarweise (stochastisch) unabhängig, wenn P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) , P ( A ∩ C ) = P ( A ) ⋅ P ( C ) und P ( B ∩ C ) = P ( B ) ⋅ P ( C ) gilt.
  • Drei Ereignisse A ,   B ,   C ⊆ Ω heißen (stochastisch) unabhängig, wenn sie sowohl paarweise (stochastisch) unabhängig sind als auch der Gleichung P ( A ∩ B ∩ C ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) ⋅ P ( C ) genügen.
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Zufällige Ereignisse." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/zufaellige-ereignisse (Abgerufen: 20. May 2025, 02:41 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • Zufallsexperimente
  • atomares Ereignis
  • unvereinbare Ereignissse
  • Zufallsversuche
  • Ereignisraum
  • Eintreten eines Ereignisses
  • sicheres Ereignis
  • Multiplikationssatz
  • Zerlegung
  • unabhängige Ereignisse
  • unmögliches Ereignis
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten

Für zwei beliebige Ereignisse A ,   B         ( m i t       A ,   B ⊆ Ω ) gilt:
  P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
Dieser Additionssatz kann auf drei und mehr Ereignisse verallgemeinert werden.
Spezialfälle des Additionssatzes ergeben sich für unvereinbare bzw. unabhängige Ereignisse A und B.

Ereignisalgebra

In der Praxis hat es sich als günstig und richtig erwiesen von einer derartigen Menge von Ereignissen eines zufälligen Vorgangs, denen man eine Wahrscheinlichkeit zuordnen möchte, zu fordern, dass sie die im folgenden gezeigten Bedingungen einer Ereignisalgebra E erfüllt.

Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten und ihre Beweise

Für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten existieren grundlegende Regeln, die aus dem kolmogorowschen Axiomensystem ableitbar sind.
Diese Beweise dieser Rechenregeln gewähren Einblicke in wichtige stochastische Beweismechanismen. So besteht eine häufig angewandte Beweisidee in der Zerlegung eines Ereignisses in zwei geeignete (unvereinbare) Ereignisse.

Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die mathematische Beschreibung des Zufalls orientierte sich bis in das 20. Jahrundert hinein vor allem am Modell der Gleichverteilung.
Für den Aufbau einer umfassenden Wahrscheinlichkeitstheorie erweist sich ein solches Herangehen allerdings als zu eng. Heute wird die Wahrscheinlichkeit axiomatisch definiert. Die axiomatische Definition geht auf den russischen Mathematiker ANDREJ NIKOLAJEWITSCH KOLMOGOROW (1903 bis 1987) zurück.

Axiomensysteme

Durch Axiomensysteme werden mathematische Begriffe mithilfe einer Reihe von einfachen Festlegungen, die man Axiome nennt, charakterisiert.
An ein mathematisches Axiomensystem werden eine Reihe von Bedingungen gestellt. So sollte es z.B. widerspruchsfrei sein.

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025