Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik Abitur
  3. 3 Funktionen und ihre Eigenschaften
  4. 3.6 Klassen reeller Funktionen
  5. 3.6.3 Quadratische Funktionen
  6. Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen

Eine Funktion mit einer Gleichung der Form
  y = f ( x ) = a x 2 + b x + c   ( mit  a ≠ 0,       x ∈ ℝ )
oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt quadratische Funktion.
Dabei nennt man a x 2 das quadratische Glied, bx das lineare Glied und c das absolute Glied der Funktionsgleichung.
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

Nimmt man vereinfachend an, dass ein Bungee-Springer in der ersten Phase nach seinem Absprung aus h 0 Meter Höhe frei fällt, so würde er sich entsprechend den Gesetzen der Physik nach t Sekunden in einer Höhe
  h = h 0 − g 2 ⋅ t 2   ( g = 9,81     m s 2 )
über der Erdoberfläche befinden.

Die Gleichung
  h ( t ) = h 0 − g 2 ⋅ t 2
beschreibt eine spezielle quadratische Funktion.

  • Definition: Eine Funktion mit einer Gleichung der Form
      y = f ( x ) = a x 2 + b x + c   ( mit  a ≠ 0,       x ∈ ℝ )
    oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt quadratische Funktion
    ( a x 2 nennt man das quadratische Glied, bx das lineare Glied und c das absolute Glied der Funktionsgleichung).

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel (quadratische Parabel). Die Symmetrieachse der Parabel verläuft parallel zur y-Achse und schneidet den Graphen der Funktion im Scheitelpunkt (Scheitel) der Parabel.
Für a > 0 ist die Parabel nach oben und für a < 0 nach unten geöffnet.

Für a > 0 besitzt die Parabel einen tiefsten Punkt (einen Minimumpunkt) und für a < 0 einen höchsten Punkt (einen Maximumpunkt). Diese Punkte sind jeweils Scheitelpunkt der Parabel.

Wir betrachten zunächst quadratische Funktionen mit a = 1. Man erhält
  y = f ( x ) = x 2 + b x + c
bzw. durch Umbenennung
  y = f ( x ) = x 2 + p x + q   ( m i t       p ,     q ∈ ℝ )
Um den Zusammenhang zwischen den reellen Zahlen p, q und den Graphen der entsprechenden quadratischen Funktionen zu erkennen, ist es zweckmäßig, eine Fallunterscheidung durchzuführen.

  • Parabel nach oben bzw. nach unten geöffnet

Fall 1: p = 0, q = 0
Man erhält die quadratische Funktion f ( x ) = x 2 .
Ihr Definitionsbereich ist die Menge der reellen Zahlen, ihr Wertebereich die Menge aller nichtnegativen reellen Zahlen.
Der Graph dieser Funktion wird Normalparabel genannt.
Ihre Symmetrieachse ist die y-Achse; der Scheitel hat die Koordinaten (0; 0).
Aufgrund der im Funktionsterm auszuführenden Operation (Quadrieren) ist die Funktion f ( x ) = x 2 für alle x ≤ 0 streng monoton fallend und für alle x ≥ 0 streng monoton wachsend sowie nach unten beschränkt.

  • Normalparabel

Fall 2: p = 0; q ≠ 0
Es ergibt sich die Gleichung f ( x ) = x 2 + q mit q ∈ ℝ , z.B. also
y = f 1 ( x ) = x 2 + 1 oder y = f 2 ( x ) = x 2 − 4 .
Im Vergleich zum zuvor betrachteten Fall erhält man die Funktionswerte der jeweiligen Funktion, indem man zum entsprechenden Funktionswert von f ( x ) = x 2 die Zahl 1 addiert bzw. von diesem 4 subtrahiert (allgemein: q addiert).
Das heißt geometrisch: Der Graph der Funktionen f ( x ) = x 2 + q ist eine um | q | Einheiten in Richtung der positiven (für q > 0) bzw. negativen y-Achse (für q < 0) verschobene Normalparabel mit der y-Achse als Symmetrieachse und dem Scheitel (0; q).

  • Verschobene Normalparabenl mit y-Achse als Symmetrieachse

Fall 3: p ≠  0, q = 0
Man erhält die Gleichung f ( x ) = x 2 + p x mit p ∈ ℝ , zum Beispiel also
y = f ( x ) = x 2 + 2 x .

Um mit den vorangegangenen Fällen vergleichen zu können, liegt es nahe, die Summe im Funktionsterm in ein vollständiges Quadrat umzuwandeln.
Das ist mithilfe der quadratischen Ergänzung möglich:
  f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 − 1 = ( x + 1 ) 2 − 1
Die Funktionsgleichung erreicht damit die Gestalt f ( x ) = ( x + d ) 2 + e .
Der Einfluss des Summanden e auf den Graphen der Funktion ist bekannt (siehe Fall 2).
Anhand der Funktionsgleichungen h ( x ) = x 2 und f ( x ) = ( x + d ) 2 erkennt man:
Der Funktionswert, den die Funktion h ( x ) = x 2 an einer beliebigen Stelle x annimmt, ist gleich dem Funktionswert von
f ( x ) = ( x + d ) 2 an der Stelle x – d, denn
f ( x − d ) = [ ( x − d ) + d ] 2 = x 2 = h ( x ) .
Also: Der Graph der Funktion y = f ( x ) = ( x + d ) 2 ist die um | d | Einheiten in Richtung der positiven (falls d < 0) oder der negativen x-Achse (falls d > 0) verschobene Normalparabel.
In Bezug auf das betrachtete Beispiel y = f ( x ) = x 2 + 2 x bzw. y = f ( x ) = ( x + 1 ) 2 – 1 bedeutet das: Der Graph der Funktion ist die um je eine Einheit in Richtung der negativen x- und y-Achse verschobene Normalparabel; der Scheitelpunkt ist S(–1; –1).

  • Normalparabel mit S (-1; -1)

Fall 4: p ≠ 0; q ≠ 0
Man erhält die Gleichung y = f ( x ) = x 2 + p x + q mit p , q     ∈ ℝ .
Mithilfe der quadratischen Ergänzung kann diese wieder in die Struktur y = f ( x ) = ( x + d ) 2 + e überführt werden, aus der sich die Koordinaten des Scheitelpunktes S(–d; e) unmittelbar ablesen lassen (siehe Fall 3).

Man spricht deshalb auch von der Scheitelpunktsform der Gleichung einer quadratischen Funktion. Bei der Umformung geht man in folgenden Schritten vor:

Beispiel:    Allgemeiner Fall:
g ( x ) = x 2 + 5 x + 7 = x 2 + 5 x + ( 5 2 ) 2 − ( 5 2 ) 2 + 7 = ( x + 5 2 ) 2 + 3 4   , f ( x ) = x 2 + p x + q = x 2 + p x + ( p 2 ) 2 − ( p 2 ) 2 + q = ( x + p 2 ) 2 + [ − ( p 2 ) 2 + q ]   ,
also d = 5 2   ;     e = 3 4 und damit S ( − 5 2   ;     3 4 ) . also d = p 2   ;     e = − ( p 2 ) 2 + q und
damit S ( − p 2   ;     − ( p 2 ) 2 + q ) .

Das heißt: Die Koordinaten des Scheitelpunktes kann man unmittelbar aus p und q erhalten, ohne die Scheitelpunktsform zu erzeugen.
Führt man für ( p 2 ) 2 − q = p 2 4 − q die Abkürzung D ein, so erhält man für die Koordinaten des Scheitelpunktes S ( − p 2   ;     − D ) bzw. S ( − p 2   ;   − ( p 2 4 − q ) ) .
D nennt man Diskriminante der quadratischen Funktion.

  • Normalparabel mit S (-2,5; 0,75)
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Quadratische Funktionen ." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/quadratische-funktionen (Abgerufen: 19. May 2025, 18:05 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • Berechnung
  • quadratische Ergänzung
  • äquivalentes Umformen
  • Mathcad
  • Normalparabel
  • Diskriminante
  • Symmetrieachse
  • interaktives Rechenbeispiel
  • Scheitelpunktsform
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Asymptoten (asymptotische Linien)

Untersucht man ganzrationale Funktionen für beliebige große bzw. kleine x-Werte, so werden auch die Funktionswerte beliebig groß oder klein:
Für x → ±   ∞ gilt |   f ( x )   | = +   ∞ .

Völlig verschieden davon ist das Verhalten gebrochenrationaler Funktionen der Form
f(x) = p(x) q(x) .

Deren Graphen schmiegen sich für beliebig groß bzw. klein werdende Argumente immer mehr an eine Gerade an. Derartige Geraden werden Asymptoten des Graphen der Funktion genannt. Man unterscheidet zwischen waagerechten (horizontalen) und schiefen Asymptoten sowie asymptotischen Linien bzw. Kurven.

Anmerkung: Gelegentlich werden auch die Polgeraden bei vorhandenen Definitionslücken als senkrechte (vertikale) Asymptoten bezeichnet.

Johann Bernoulli

* 6. August 1667 (27. Juli 1667) Basel
† 1. Januar 1748 Basel

JOHANN BERNOULLI trug wesentlich zur Herausbildung moderner Auffassungen zur Infinitesimalrechnung und deren Verbreitung in Europa bei. Gemeinsam mit seinem älteren Bruder JAKOB und in Korrespondenz mit GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ entwickelte er den sogenannten „Leibnizschen Calculus“ weiter, der Begriff Integralrechnung geht auf ihn zurück.
Intensiv beschäftigte sich JOHANN BERNOULLI mit Anwendungen der Infinitesimalrechung auf physikalische und technische Probleme, zum Beispiel untersuchte er das Verhalten strömender Flüssigkeiten.

Definitionslücken

Definitionslücken treten insbesondere bei gebrochenrationalen Funktionen auf. Alle x-Werte, für die die Nennerfunktion den Wert Null annimmt, werden als Definitionslücken bezeichnet.
Man unterscheidet zwischen Polstellen und hebbaren Definitionslücken.

Funktionen mit der Gleichung y = f(x) = mx + n

Eine Funktion f mit einer Gleichung der Form
  y = f ( x ) = m x + n   ( m ,   n ∈ ℝ )
oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt lineare Funktion.
Für lineare Funktionen ist der Definitionsbereich im Allgemeinen die Menge der reellen Zahlen (so nicht das mathematische oder das entsprechenden Anwendungsproblem einen Einschränkung verlangt), was dann auch für den Wertebereich ( m ,   n ≠ 0 ) gilt. Die Zahlen m und n sind Parameter.

Nullstellen ganzrationaler Funktionen (dritten und höheren Grades)

Allgemein versteht man unter einer Nullstelle einer Funktion f diejenige Zahl x 0 ∈ D f , für die f ( x 0 ) = 0 gilt. Nullstellen zu berechnen heißt demnach, alle Lösungen der Gleichung f ( x ) = 0 zu ermitteln.
Diese kann man rechnerisch durch Anwenden der äquivalenten Umformungsregeln, Verwenden von Lösungsformeln u.a. sowie Anwenden von Näherungsverfahren  bestimmen.

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025