Quadratische Funktionen

Nimmt man vereinfachend an, dass ein Bungee-Springer in der ersten Phase nach seinem Absprung aus h0 Meter Höhe frei fällt, so würde er sich entsprechend den Gesetzen der Physik nach t Sekunden in einer Höhe
h=h0g2t2(g=9,81ms2)
über der Erdoberfläche befinden.

Die Gleichung
h(t)=h0g2t2
beschreibt eine spezielle quadratische Funktion.

  • Definition: Eine Funktion mit einer Gleichung der Form
    y=f(x)=ax2+bx+c(mit a0,x)
    oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt quadratische Funktion
    (ax2 nennt man das quadratische Glied, bx das lineare Glied und c das absolute Glied der Funktionsgleichung).

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel (quadratische Parabel). Die Symmetrieachse der Parabel verläuft parallel zur y-Achse und schneidet den Graphen der Funktion im Scheitelpunkt (Scheitel) der Parabel.
Für a > 0 ist die Parabel nach oben und für a < 0 nach unten geöffnet.

Für a > 0 besitzt die Parabel einen tiefsten Punkt (einen Minimumpunkt) und für a < 0 einen höchsten Punkt (einen Maximumpunkt). Diese Punkte sind jeweils Scheitelpunkt der Parabel.

Wir betrachten zunächst quadratische Funktionen mit a = 1. Man erhält
y=f(x)=x2+bx+c
bzw. durch Umbenennung
y=f(x)=x2+px+q(mit p,q)
Um den Zusammenhang zwischen den reellen Zahlen p, q und den Graphen der entsprechenden quadratischen Funktionen zu erkennen, ist es zweckmäßig, eine Fallunterscheidung durchzuführen.

Parabel nach oben bzw. nach unten geöffnet

Parabel nach oben bzw. nach unten geöffnet

Fall 1: p = 0, q = 0
Man erhält die quadratische Funktion f(x)=x2.
Ihr Definitionsbereich ist die Menge der reellen Zahlen, ihr Wertebereich die Menge aller nichtnegativen reellen Zahlen.
Der Graph dieser Funktion wird Normalparabel genannt.
Ihre Symmetrieachse ist die y-Achse; der Scheitel hat die Koordinaten (0; 0).
Aufgrund der im Funktionsterm auszuführenden Operation (Quadrieren) ist die Funktion f(x)=x2 für alle x0 streng monoton fallend und für alle x0 streng monoton wachsend sowie nach unten beschränkt.

Normalparabel

Normalparabel

Fall 2: p = 0; q 0
Es ergibt sich die Gleichung f(x)=x2+q mit q, z.B. also
y=f1(x)=x2+1 oder y=f2(x)=x24.
Im Vergleich zum zuvor betrachteten Fall erhält man die Funktionswerte der jeweiligen Funktion, indem man zum entsprechenden Funktionswert von f(x)=x2 die Zahl 1 addiert bzw. von diesem 4 subtrahiert (allgemein: q addiert).
Das heißt geometrisch: Der Graph der Funktionen f(x)=x2+q ist eine um |q| Einheiten in Richtung der positiven (für q > 0) bzw. negativen y-Achse (für q < 0) verschobene Normalparabel mit der y-Achse als Symmetrieachse und dem Scheitel (0; q).

Verschobene Normalparabenl mit y-Achse als Symmetrieachse

Verschobene Normalparabenl mit y-Achse als Symmetrieachse

Fall 3: p ≠  0, q = 0
Man erhält die Gleichung f(x)=x2+px mit p, zum Beispiel also
y=f(x)=x2+2x.

Um mit den vorangegangenen Fällen vergleichen zu können, liegt es nahe, die Summe im Funktionsterm in ein vollständiges Quadrat umzuwandeln.
Das ist mithilfe der quadratischen Ergänzung möglich:
f(x)=x2+2x+11=(x+1)21
Die Funktionsgleichung erreicht damit die Gestalt f(x)=(x+d)2+e.
Der Einfluss des Summanden e auf den Graphen der Funktion ist bekannt (siehe Fall 2).
Anhand der Funktionsgleichungen h(x)=x2 und f(x)=(x+d)2erkennt man:
Der Funktionswert, den die Funktion h(x)=x2 an einer beliebigen Stelle x annimmt, ist gleich dem Funktionswert von
f(x)=(x+d)2 an der Stelle x – d, denn
f(xd)=[(xd)+d]2=x2=h(x).
Also: Der Graph der Funktion y = f(x)=(x+d)2 ist die um |d|Einheiten in Richtung der positiven (falls d < 0) oder der negativen x-Achse (falls d > 0) verschobene Normalparabel.
In Bezug auf das betrachtete Beispiel y=f(x)=x2+2x bzw. y=f(x)=(x+1)2– 1 bedeutet das: Der Graph der Funktion ist die um je eine Einheit in Richtung der negativen x- und y-Achse verschobene Normalparabel; der Scheitelpunkt ist S(–1; –1).

Normalparabel mit S (-1; -1)

Normalparabel mit S (-1; -1)

Fall 4: p 0; q 0
Man erhält die Gleichung y=f(x)=x2+px+q mit p,q.
Mithilfe der quadratischen Ergänzung kann diese wieder in die Struktur y=f(x)=(x+d)2+e überführt werden, aus der sich die Koordinaten des Scheitelpunktes S(–d; e) unmittelbar ablesen lassen (siehe Fall 3).

Man spricht deshalb auch von der Scheitelpunktsform der Gleichung einer quadratischen Funktion. Bei der Umformung geht man in folgenden Schritten vor:

Beispiel:    Allgemeiner Fall:
g(x)=x2+5x+7=x2+5x+(52)2(52)2+7=(x+52)2+34,f(x)=x2+px+q=x2+px+(p2)2(p2)2+q=(x+p2)2+[(p2)2+q],
also d=52;e=34 und damit S(52;34).also d=p2;e=(p2)2+q und
damit S(p2;(p2)2+q).

Das heißt: Die Koordinaten des Scheitelpunktes kann man unmittelbar aus p und q erhalten, ohne die Scheitelpunktsform zu erzeugen.
Führt man für (p2)2q=p24q die Abkürzung D ein, so erhält man für die Koordinaten des Scheitelpunktes S(p2;D) bzw. S(p2;(p24q)).
D nennt man Diskriminante der quadratischen Funktion.

Normalparabel mit S (-2,5; 0,75)

Normalparabel mit S (-2,5; 0,75)

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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