Regel von Bernoulli-l'Hospital (erste Regel von l'Hospital)

Die im Folgenden betrachtete erste Regel stammt eigentlich vom Schweizer JOHANN BERNOULLI (1667 bis 1748); deswegen findet man dafür mitunter auch die Bezeichnung Regel von BERNOULLI-L'HOSPITAL.

Ausgangspunkt unserer Betrachtungen ist ein physikalisches Problem:

  • In einem einfachen Gleichstromkreis mit der Spannung U befindet sich eine Spule mit dem ohmschen Widerstand R und der Induktivität (Selbstinduktion) L. Für die Stromstärke I als Funktion der Zeit t gilt dann:
    I ( t ) = U R ( 1 e R L t )
    Welche Beziehung gilt für die Stromstärke, wenn der ohmsche Widerstand R der Spule des Gleichstromkreises gleich null wäre (ideale Spule)?

Die Beantwortung dieser Frage führt zur Bildung des folgenden einseitigen Grenzwertes:
lim I ( R ) R 0 R > 0 = lim R 0 R > 0 U ( 1 e R L t ) R

Fasst man nun den Zähler als Funktion u mit u ( R ) = U ( 1 e R L t ) und den Nenner als Funktion v mit v ( R ) = R auf, dann läge es nahe, den Grenzwertsatz für den Quotienten zweier Funktionen anzuwenden, doch dessen Voraussetzung ist wegen lim R 0 R > 0 v ( R ) = 0 nicht erfüllt.

Wendet man ihn dennoch formal an, so führt das auf den unbestimmten Ausdruck 0 0 .

Mathematisch stößt man hier auf bestimmte Grenzen, physikalisch ist das Problem aber lösbar: Beim Schließen des Gleichstromkreises bewirkt die Selbstinduktion ein verzögertes Ansteigen des Stroms. Der Widerstand R des Stromkreises führt dazu, dass sich nach kurzer Zeit der nach dem ohmschen Gesetz geltende konstante Wert I = U R einstellt.

Bild

Die punktuelle Änderungsrate (Anstieg, Steigung) der Stromstärke ist durch die 1. Ableitung I ( t ) = U L e R L t bestimmt.

Für den Einschaltmoment nimmt sie den von R unabhängigen Wert I ( 0 ) = U L an. Wäre also der Widerstand R gleich null, so würde dieser Anstieg unverändert andauern, also für die Stromstärke I ( t ) würde gelten I ( t ) = U L t .

Als (rein) mathematisches Beispiel betrachten wir das folgende:

  • Es soll das Konvergenzverhalten der Funktion f mit f ( x ) = x 2 sin x an der Stelle x 0 = 0 untersucht werden.

Sowohl die Zählerfunktion u ( x ) = x 2 als auch die Nennerfunktion v ( x ) = sin x streben für x 0 gegen null.

Wir erhalten also wiederum einen unbestimmten Ausdruck der Form 0 0 .

Zerlegt man nun f in ein Produkt aus den beiden Faktoren x und x sin x , dann kann man mit dem Grenzwertsatz für das Produkt zweier Funktionen schlussfolgern:
lim x 0 x 2 sin x = lim x 0 ( x x sin x ) = lim x 0 x 0 lim x 0 x sin x 1 = 0

Mithilfe des Mittelwertsatzes der Differenzialrechnung ist es möglich, dieses Ergebnis unter anderen Gesichtspunkten zu begründen und entsprechend zu verallgemeinern. Dazu betrachten wir die Graphen von u und v.

Beispiel zur (ersten) Regel von l'Hospital

Beispiel zur (ersten) Regel von l'Hospital

Eine Parallele zur y-Achse im Abstand x > 0 schneidet die Graphen von u und v in den Punkten P ( x ; u ( x ) ) b z w . Q ( x ; v ( x ) ) . Verbindet man nun diese beiden Punkte mit dem Koordinatenursprung O, so sind die Geraden OP und OQ Sekanten der Graphen von u und v. Da beide Funktionen im Intervall [ 0 ; x ] differenzierbar sind, gibt es nach dem Mittelwertsatz im offenen Intervall ] 0 ; x [ mindestens zwei Stellen a und b, sodass gilt:
u ( a ) = u ( x ) u ( 0 ) x 0 = u ( x ) x v ( b ) = v ( x ) v ( 0 ) x 0 = v ( x ) x

Somit ist u ( x ) = x u ( a ) u n d v ( x ) = x v ( b ) , und für den Grenzwert erhalten wir:
lim x 0 x 2 sin x = lim x 0 u ( x ) v ( x ) = lim x 0 u ( a ) x v ( b ) x

Strebt nun x gegen null, so streben offensichtlich sowohl a als auch b ebenfalls gegen null. Da u ( x ) = 2 x u n d v ( x ) = cos x ist, ergibt sich lim a 0 u ( a ) = 0 b z w . lim b 0 v ( b ) = 1 .

Demzufolge ist:
lim x 0 u ( a ) v ( b ) = lim a 0 u ( a ) lim b 0 v ( b ) = 0 1 = 0

Für x < 0 sind die Überlegungen analog, so dass in der Tat gilt:
lim x 0 x 2 sin x = 0

Dieses Ergebnis lässt sich zur (ersten) Regel von L'HOSPITAL verallgemeinern:

  • Es seien die Funktionen u ( x ) u n d v ( x ) in einer Umgebung von x 0 differenzierbar und ihre Ableitungsfunktionen in x 0 stetig.
    Ist nun u ( x 0 ) = v ( x 0 ) = 0 sowie v ( x ) 0 in einer Umgebung von x 0 , so gilt:
    lim x x 0 u ( x ) v ( x ) = lim x x 0 u ( x ) v ( x ) ( f a l l s lim x x 0 u ( x ) v ( x ) e x i s t i e r t )

Anmerkungen: Die Regel von L'HOSPITAL kann (wenn jeweils die Voraussetzungen erfüllt sind) auch mehrfach hintereinander angewendet werden.
Zu beachten ist ferner, dass man Zähler- und Nennerfunktionen getrennt ableitet und nicht nach der Quotientenregel verfährt.

Beispiel 1: lim x 1 x 3 2 x + 1 x 9 x 2

Es ist:
lim x 1 x 3 2 x + 1 x 9 x 2 = lim x 1 3 x 2 2 9 x 8 2 x = 3 1 2 2 9 1 8 2 1 = 1 7

Beispiel 2: lim x π 2 cos x π 2 x

Für x π 2 gehen sowohl die Zählerfunktion u ( x ) = cos x als auch die Nennerfunktion v ( x ) = π 2 x gegen null, aber es ist nicht absehbar, was mit dem Quotienten passiert, deshalb überprüfen wir den Grenzwert des Quotienten der Ableitungen:
lim x π 2 u ( x ) v ( x ) = lim x π 2 u ( x ) v ( x ) = lim x π 2 ( sin x 2 ) = lim x π 2 sin x 2 = 1 2
Also ist lim x π 2 cos x π 2 x = 1 2 .

Beispiel 3: lim x 0 e x x 1 x 2

Für x 0 streben sowohl die Zähler- als auch die Nennerfunktion gegen null. Der Quotient der Ableitungen ist:
u ( x ) v ( x ) = e x 1 2 x

Da wiederum Zähler- und Nennerfunktion für x 0 gegen null streben, wird ein weiteres Mal abgeleitet:
u ( x ) v ( x ) = e x 2

Jetzt ist lim x 0 e x 2 = 1 2 und demzufolge gilt:
lim x 0 e x x 1 x 2 = lim x 0 e x 1 2 x = lim x 0 e x 2 = 1 2 .

Anmerkung: Die Regel von L'HOSPITAL lässt sich nicht anwenden, wenn die Zähler- oder die Nennerfunktion einen endlichen von null verschiedenen Grenzwert hat. Zum Beispiel ist lim x 0 x x + cos x = 0 1 = 0 . Eine formale (nicht die Voraussetzungen prüfende) Anwendung der Regel von L'HOSPITAL führt zu dem falschen Ergebnis lim x 0 x x + cos x = lim x 0 1 1 sin x = 1 1 = 1 .

Greifen wir nochmals das Eingangsbeispiel auf.
Mithilfe der Regel von L'HOSPITAL erhält man:
lim R 0 R > 0 U ( 1 e ) R L t R = lim R 0 R > 0 U L t e R L t 1 = U L t

Im Unterschied zu den physikalischen Überlegungen erweckt das mathematische Resultat eine unbegrenzte Zunahme der Stromstärke mit der Zeit. Praktisch stellt sich jedoch ziemlich schnell der konstante Wert U L ein (s. obiges Textbild).

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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