Taylor-Entwicklung einiger trigonometrischer Funktionen

TAYLOR-Entwicklung der Funktion f(x) = sin x

Die Sinusfunktion soll an der Stelle x 0 = 0 nach TAYLOR entwickelt werden.

Für die Funktion f und ihre Ableitungen gilt:
f ( x ) = sin x m i t f ( 0 ) = 0 , f ( x ) = cos x m i t f ( 0 ) = 1 , f ( x ) = sin x m i t f ( 0 ) = 0, f ( x ) = cos x m i t f ( 0 ) = 1 , f ( 4 ) ( x ) = sin x m i t f ( 4 ) ( 0 ) = 0

und damit allgemein (wie man durch vollständige Induktion zeigen kann) für k
f ( 4 k ) ( x ) = sin x m i t f ( 4 k ) ( 0 ) = 0 , f ( 4 k + 1 ) ( x ) = cos x m i t f ( 4 k + 1 ) ( 0 ) = 1 , f ( 4 k + 2 ) ( x ) = sin x m i t f ( 4 k + 2 ) ( 0 ) = 0, f ( 4 k + 3 ) ( x ) = cos x m i t f ( 4 k + 3 ) ( 0 ) = 1 .

Im TAYLOR-Polynom der Sinusfunktion an der Stelle x 0 = 0 treten also nur Potenzen von x mit ungeraden Exponenten auf.

Mithilfe der allgemeinen taylorschen Formel erhalten wir
f ( x ) = sin x = x x 3 3 ! + x 5 5 ! x 7 7 ! + + ( 1 ) ( k 1 ) x 2 k 1 ( 2 k 1 ) ! + ( 1 ) k x 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! cos ϑ x mit 0 < ϑ < 1.

Um beurteilen zu können, wie gut das in der obigen Gleichung aufgestellte TAYLOR-Polynom die Funktion f(x) = sin x an der Stelle x 0 = 0 approximiert, müssen wir das Restglied R 2 k + 1 ( x ) abschätzen:
W e g e n | cos ϑ x | 1 i s t R 2 k + 1 ( x ) x 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! .

Da lim k x 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! = 0, konvergiert auch das Restglied R 2 k + 1 ( x ) gegen null.

Erst jetzt können wir davon sprechen, dass sich die Sinusfunktion in der Umgebung von 0 durch das TAYLOR-Polynom approximieren lässt bzw. dass die Sinusfunktion in eine TAYLOR-Reihe entwickelt wurde:
f ( x ) = sin x = x x 3 3 ! + x 5 5 ! x 7 7 ! + + ( 1 ) ( k 1 ) x 2 k 1 ( 2 k 1 ) ! +

Die Abbildung zeigt die Sinusfunktion und die ersten fünf Schmiegparabeln.
(Man beachte, dass die Sinusfunktion eine ungerade Funktion ist.)

Sinusfunktion mit Schmiegparabeln

Sinusfunktion mit Schmiegparabeln

TAYLOR-Entwicklung der Funktion f(x) = cos x

Die Entwicklung der Kosinusfunktion erhält man auf analogem Wege:

Für die Ableitungen von f(x) = cos x gilt:
f ( 2 k ) ( x ) = ( 1 ) k cos x u n d f ( 2 k ) ( 0 ) = ( 1 ) k b z w . f ( 2 k + 1 ) ( x ) = ( 1 ) k + 1 sin x u n d f ( 2 k + 1 ) ( 0 ) = 0, k = 0, 1, 2,

Daraus folgt für die Entwicklung an der Stelle x 0 = 0
f ( x ) = cos x = 1 x 2 2 ! + x 4 4 ! x 6 6 ! + + ( 1 ) k x 2 k ( 2 k ) ! + R 2 k + 2 m i t R 2 k + 2 = ( 1 ) k + 1 x 2 k + 2 ( 2 k + 2 ) ! cos δ x , 0 < δ < 1.

Bei festem x ist | R 2 k + 2 ( x ) | | x | 2 k + 2 ( 2 k + 2 ) ! u n d lim k | x | 2 k + 2 ( 2 k + 2 ) ! = 0.

Auch die Kosinusfunktion lässt sich also in eine TAYLOR-Reihe entwickeln. Demzufolge kann man die Werte von cos x für beliebige x mit jeder geforderten Genauigkeit berechnen.

Derartige Approximationen nichtrationaler Funktionen sind eine wichtige Grundlage für entsprechende Rechenprozesse in Taschenrechnern und Computern.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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