Newtonsches und lagrangesches Interpolationsverfahren

Aufgabe der (allgemeinen) Interpolation ist es, zu n + 1 Punkten $P_{0}, P_{1}, P_{2}, ..., P_{n}$ ein Polynom (möglichst kleinen Grades) mit der Eigenschaft $p (x_{i}) = y_{i} (m i t i = 0, 1, 2, ..., n)$ zu finden.
Dies ist mit dem newtonschen sowie dem lagrangeschen Interpolationsverfahren möglich, wobei das erstere Verfahren die größere praktische Bedeutung hat.

Bei der sogenannten linearen Interpolation wird zum Berechnen von Funktionswerten das Bild einer Funktion f partiell (d.h. zwischen zwei Punkten $P_{1} u n d P_{2}$ ) durch eine Gerade ersetzt. Eine bessere Annäherung an das Bild von f und damit einer größere Genauigkeit des interpolierten Wertes erreicht man, wenn man mehr Punkte heranzieht und eine Funktion ermittelt, deren Bild durch alle diese Punkte geht.

Newtonsches Interpolationsverfahren

In einem Verfahren, das auf ISAAC NEWTON (1643 bis 1727; Bild 1) zurückgeht, nähert man die Funktion durch eine ganzrationale Funktion, eine sogenannte Polynomfunktion , von möglichst kleinem Grad an. Dieses newtonsche Interpolationsverfahren sei im Folgenden dargestellt.
Von der Funktion f mit f(x) seien gegeben (s. Bild 1 bzw. folgendes Textbild)

die Argumente $x_{0}; x_{1}; x_{2}; ...; x_{n}$ , die sogenannten Stützstellen ,
die zugehörigen Funktionswerte $y_{0}; y_{1}; y_{2}; ...; y_{n}$ , die sogenannten Stützwerte.

Es wird vorausgesetzt, dass die Stützstellen (alle) voneinander verschieden sind, für die Stützwerte ist dies nicht erforderlich. Bild Das Interpolationspolynom p(x) erhält man durch die folgende newtonsche Interpolationsformel :
$\begin{array}{l} p (x) = a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + a_{2} (x - x_{0}) (x - x_{1}) + ... \\ + a_{n} (x - x_{0}) (x - x_{1}) (x - x_{2}) \cdot ... \cdot (x - x_{n - 1}) \end{array}$
Die Koeffizienten $a_{0}; a_{1}; a_{2}; ...; a_{n}$ kann man dann schrittweise aus folgenden Gleichungen berechnen:
$\begin{array}{l} y_{0} = a_{0} \\ y_{1} = a_{0} + a_{1} (x_{1} - x_{0}) \\ y_{2} = a_{0} + a_{1} (x_{2} - x_{0}) + a_{2} (x_{2} - x_{0}) (x_{2} - x_{1}) \\ ... \\ y_{n} = a_{0} + a_{1} (x_{n} - x_{0}) + a_{2} (x_{n} - x_{0}) (x_{n} - x_{1}) + ... \\ + a_{n} (x_{n} - x_{0}) (x_{n} - x_{1}) (x_{n} - x_{2}) \cdot ... \cdot (x_{n} - x_{n - 1}) \end{array}$
Wir betrachten dazu ein Beispiel.

Gegeben seien die (im untenstehenden Bild dargestellten) Punkte $\begin{array}{l} p (x) = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} (x - 1) (x - 2) \\ + a_{3} (x - 1) (x - 2) (x - 3) \end{array}$ $P_{0} (1; 2), P_{1} (2; 3), P_{2} (3; 1) u n d P_{3} (4; 3)$ .
Dann gilt (wegen $n = 3$ ):

Bild

Die Koeffizienten $a_{i}$ werden nach den oben genannten Verfahren wie folgt berechnet:
$\begin{array}{l} 2 = a_{0} \Rightarrow a_{0} = 2 \\ 3 = 2 + a_{1} (2 - 1) \Rightarrow a_{1} = 1 \\ 1 = 2 + 1 (3 - 1) + a_{2} (3 - 1) (3 - 2) \Rightarrow a_{2} = - \frac{3}{2} = - 1,5 \\ 3 = 2 + 1 (4 - 1) - 1,5 (4 - 1) (4 - 2) + a_{3} (4 - 1) (4 - 2) (4 - 3) \Rightarrow a_{3} = \frac{7}{6} \end{array}$
Setzt man diese Werte in die Ausgangsformel ein, erhält man nach einigen Umformungen als Polynomfunktion:
$p (x) = \frac{1}{6} (7 x^{3} - 51 x^{2} + 110 x - 54)$
Die Probe zeigt, dass das Bild dieser ganzrationalen Funktion 3. Grades durch die vier gegebenen Punkte geht.

Lagrangesches Interpolationsverfahren

Ein anderes Verfahren stammt vom französischen Mathematiker JOSEPH LOUIS LAGRANGE (1736 bis 1813, Bild 2).
Das k-te lagrangesche Polynom n-ten Grades $(m i t k \leq n)$ ist folgendermaßen definiert:
$L_{k} (x) = \frac{(x - x_{o}) (x - x_{1}) \cdot ... \cdot (x - x_{k - 1}) (x - x_{k + 1}) \cdot ... \cdot (x - x_{n})}{(x_{k} - x_{o}) (x_{k} - x_{1}) \cdot ... \cdot (x_{k} - x_{k - 1}) (x_{k} - x_{k + 1}) \cdot ... \cdot (x_{k} - x_{n})}$
Als lagrangesches Interpolationspolynom ergibt sich dann:
$L (x) = y_{0} \cdot L_{0} + y_{1} \cdot L_{1} + y_{2} \cdot L_{2} + ... + y_{n} \cdot L_{n}$

Beispiel: Gegeben seien (wiederum) die Punkte $P_{0} (1; 2), P_{1} (2; 3), P_{2} (3; 1) u n d P_{3} (4; 3)$ .

Dann sind zunächst die lagrangeschen Polynome 3. Grades $L_{0}; L_{1}; L_{2} u n d L_{3}$ zu berechnen, und es ist:
$\begin{array}{l} L_{0} = \frac{(x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3})}{(x_{0} - x_{1}) (x_{0} - x_{2}) (x_{0} - x_{3})} \\ = \frac{(x - 2) (x - 3) (x - 4)}{(1 - 2) (1 - 3) (1 - 4)} = - \frac{1}{6} (x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24) \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \frac{(x - x_{0}) (x - x_{2}) (x - x_{3})}{(x_{1} - x_{0}) (x_{1} - x_{2}) (x_{1} - x_{3})} \\ = \frac{(x - 1) (x - 3) (x - 4)}{(2 - 1) (2 - 3) (2 - 4)} = \frac{1}{2} (x^{3} - 8 x^{2} + 19 x - 12) \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{2} = \frac{(x - x_{0}) (x - x_{1}) (x - x_{3})}{(x_{2} - x_{0}) (x_{2} - x_{1}) (x_{2} - x_{3})} \\ = \frac{(x - 1) (x - 2) (x - 4)}{(3 - 1) (3 - 2) (3 - 4)} = - \frac{1}{2} (x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8) \end{array}$

$L 3 = ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x 3 − x 0 ) ( x 3 − x 1 ) ( x 3 − x 2 ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( 4 − 1 ) ( 4 − 2 ) ( 4 − 3 ) = 1 6 ( x 3 − 6 x 2 + 11 x − 6 )$

Dann ergibt sich das lagrangesche Interpolationspolynom in der Form
$L (x) = 2 \cdot L_{0} + 3 \cdot L_{1} + 1 \cdot L_{2} + 3 \cdot L_{3},$
woraus nach Einsetzen und Umformen
$L (x) = \frac{1}{6} (7 x^{3} - 51 x^{2} + 110 x - 54)$
folgt. Erwartungsgemäß ist dieses Ergebnis identisch mit dem des vorangehenden Beispiels.

Ein Vergleich beider Interpolationsverfahren zeigt, dass beim newtonschen Verfahren durch die Hinzunahme einer neuen Stützstelle die bisherigen Rechnungen Gültigkeit behalten während beim lagrangeschen Verfahren die gesamte Rechnung neu begonnen werden muss.

Weitere Interpolationsformeln wurden von den Mathematikern JAMES STIRLING (1692 bis 1770), PIERRE SIMON LAPLACE (1749 bis 1829), CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 bis 1855) und FRIEDRICH WILHELM BESSEL (1784 bis 1846) entwickelt.
Der Interpolation, bei der es darum geht, eine Funktion zu finden, deren Bild durch eine vorgegebene Menge von Punkten geht, ist die Ausgleichsrechnung verwandt. Bei dieser ist ebenfalls eine Menge von Punkten (z.B. als Ergebnis von Messungen) vorgegeben, und es wird eine Funktion (lineare, quadratische, trigonometrische Funktion bzw. Potenz-, Wurzel, Exponential-, Logarithmusfunktion) gesucht, die einen den gegebenen Punkten zugrunde liegenden Zusammenhang möglichst gut widerspiegelt. Im Gegensatz zur Interpolation wird bei der Ausgleichsrechnung nicht gefordert, dass das Bild der Funktion durch alle gegebenen Punkte geht. Im Gegenteil, da die Existenz von Messfehlern angenommen werden muss, geht es darum, die Abweichungen zu minimieren und auszugleichen sowie Aussagen über die erreichte Genauigkeit zu treffen.

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