Verknüpfen von Funktionen

Mit Hilfe der reellen Zahlen $\alpha$ und $\beta$ kann man das skalare Vielfache $\left(\alpha f\right)f\left(x\right)=\alpha f\left(x\right)$ und die Linearkombination $\left(\alpha f+\beta g\right)\left(x\right)=\alpha f\left(x\right)+\beta g\left(x\right)$ konstruieren.

Wenn die Funktionen $f$ und $g$ verschiedene Definitionsbereiche $D_f$ und $D_g$ haben, dann definieren wir Summenfunktion $f+g,$ Differenzfunktion $f-g$ und Produktfunktion $f\cdot g$ auf der Schnittmenge $D_f\cap D_g;$ die Quotientenfunktion $\frac{f}{g}$ definieren wir auf der Menge $D_f\cap \left(D_g\backslash \left\{x|f\left(x\right)=0\right\}\right).$

Die neuen Funktionen $f+g,f-g,f\cdot g$ und $\frac{f}{g},$ die aus den gegebenen Funktionen $f$ und $g$ mithilfe der Grundrechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division konstruiert werden, nennt man Verknüpfungen von Funktionen f und g.

• Beispiel: Gegeben seien die Funktionen $f$ mit $f\left(x\right)=x^2+5$ mit $D_f=\left[0;10\right]$ und $g$ mit $g\left(x\right)=3x^2-75$ mit $D_g=ℝ.$
  Es sind die Verknüpfungen $f+g,f-g,f\cdot g$ und $\frac{f}{g}$ zu bilden.

Lösung:
$\begin{array}{c}\left(f+g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)=4x^2-70\text{ mit }{D}_{f+g}=\left[0;10\right]\\ \left(f-g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)=2x^2+80\text{ mit }{D}_{f-g}=\left[0;10\right]\\ \left(f\cdot g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)=3x^4-60x^2-375\text{ mit }{D}_{f\cdot g}=\left[0;10\right]\\ \frac{f}{g}\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{x^2+5}{3x^2-75}\text{ mit }{D}_{\frac{f}{g}}=\left[0;10\right]\cap ℝ\backslash \left\{-\mathrm{5,}5\right\}=\left[0;5\right)\cup \left(5;10\right]\end{array}$