Nullstellen trigonometrischer Funktionen

Die Sinusfunktion f(x)=sinx (mit x) besitzt Nullstellen für alle x{kπ,k}.
Der Graph der Kosinusfunktion f(x)=cosx (mit x) ist gegenüber dem Graphen der Sinusfunktion um π2 in Richtung der negativen x-Achse verschoben. Deshalb gilt für die Nullstellen von f(x)=cosx, dass das alle Werte x mit x{π2+kπ,k} sind.
Die Tangensfunktion f(x)=tanx=sinxcosx hat unendlich viele Definitionslücken, nämlich gerade die Nullstellen der Kosinusfunktion. Die Nullstellen der Tangensfunktion stimmen mit den Nullstellen der Sinusfunktion überein, d.h., sie besitzt Nullstellen für alle Werte x{kπ,k}.

Funktionen der Form f(x)=asin(b(xc))

Viele periodische Vorgänge lassen sich durch Funktionen der Form f(x)=asin(b(xc)) beschreiben. Im Folgenden soll untersucht werden, welchen Einfluss a, b und c auf die Nullstellen derartiger Funktionen nehmen.

Für beliebige a,b,c mit a,b>0 gilt für die Periode p von f(x)=asin(b(xc)):
p=2πb

Den Graphen einer solchen Funktion f kann man sich aus dem Graphen der Sinusfunktion schrittweise entstanden denken:

  1. Der Faktor a bewirkt eine Streckung (Stauchung) in Richtung y-Achse mit dem Faktor a, d.h., die Funktionen f(x)=sinx und f(x)=asinx besitzen die gleichen Nullstellen.
  2. Der Faktor b bewirkt eine Streckung (Stauchung) in Richtung x-Achse mit dem Faktor 1b. Das hat Einfluss auf die Nullstellen von f(x)=sinbx, das sind alle x-Werte mit x{kπb,k}.
  3. Der Summand c bewirkt eine Verschiebung in Richtung x-Achse um c Einheiten, damit verschieben sich auch die Nullstellen um c.
Graph zur Funktion des Beispiels 1 (allgemeine Sinusfunktion)
  • Beispiel 1: Es sind die Nullstellen der Funktion f(x)=2,5sin(12(x+π)) zu bestimmen.

Der Graph der Funktion f geht aus dem Graphen der Sinusfunktion hervor durch Streckung in Richtung der y-Achse mit dem Faktor 2,5, Streckung in Richtung der x-Achse mit dem Faktor 2 sowie eine Verschiebung in Richtung der x-Achse um π Einheiten nach links.
Man überlegt sich:

  1. Die Periode von f ist p=4π.
  2. Nullstellen nach Streckung in Richtung der y-Achse:
    x{x|x=kπ,k}
  3. Nullstellen nach Streckung in Richtung der x-Achse:
    x{x|x=2kπ,k}
  4. Nullstellen nach Verschiebung in Richtung der x-Achse:
    x{x|x=(2k1)π,k}

Nullstellen im Intervall [0;4π] sind dann x1=π und x2=3π.

Verkettung trigonometrischer Funktionen mit anderen Funktionen
Häufig werden Sinus- und Kosinusfunktionen mit anderen Funktionen verkettet und verknüpft. Dann sind bei der Nullstellenbestimmung goniometrische Gleichungen (trigonometrische Gleichungen) zu lösen. Im Folgenden werden dazu einige Beispiele betrachtet.

Graph zur Funktion des Beispiels 2 (verkettete Sinusfunktion)
  • Beispiel 2: f(x)=1sinx

Die Funktion f hat für alle x{kπ,k}, und zwar für die Nullstellen der Sinusfunktion, Definitionslücken.
Nullstellen besitzt f nicht, da die Gleichung 1sinx=0 für kein x erfüllbar ist.
Die Funktionswerte von f sind größer gleich 1 bzw. kleiner gleich 1.

Graph zur Funktion des Beispiels 3 (verkettete Sinusfunktion)
  • Beispiel 3: f(x)=sin1x(x0)

Bestimmen der Nullstellen heißt, die Gleichung sin1x=0 zu lösen. Setzt man 1x=z, so erhält man die Gleichung sinz=0, die für alle z=kπ,k erfüllt ist. Aus x=1z bzw. x=1kπ,k\{0} folgt, dass die Funktion die Nullstellen 1π und 1π hat und dazwischen unendlich viele weitere Nullstellen liegen.

  • Beispiel 4: f(x)=4sin2x+5sinx6

Berechnen der Nullstellen im Intervall [0;π] führt auf die folgende goniometrische Gleichung:
4sin2x+5sinx6=0
Mit der Substitution sinx=z erhält man:
4z2+5z6=0z2+54z32=0z1;2=58±2564+9664=58±118z1=34;z2=2
Daraus folgt sinx=34 und damit x10,848. Im Intervall [0;π] gibt es mit x2=πx12,294 eine weitere Lösung. Die Gleichung sinx=2 hat keine Lösung. Damit hat f im Intervall [0;π] zwei Nullstellen.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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