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  6. Nullstellen trigonometrischer Funktionen

Nullstellen trigonometrischer Funktionen

Viele periodische Vorgänge lassen sich durch Funktionen der Form f ( x ) = a ⋅ sin ( b ⋅ ( x − c ) ) beschreiben. Deren Graphen entstehen aus dem Graphen der Sinusfunktion durch Streckung (Stauchung) in Richtung der Koordinatenachsen und Verschiebung in Richtung der x-Achse, woraus sich Schlussfolgerungen für die Nullstellen ziehen lassen.
Für mit anderen Funktionen verkettete Sinus- und Kosinusfunktionen führt das Bestimmen der Nullstellen auf das Lösen goniometrischer Gleichungen.

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Die Sinusfunktion f ( x ) = sin x       ( m i t       x ∈ ℝ ) besitzt Nullstellen für alle x ∈ { k ⋅ π ,       k ∈ ℤ } .
Der Graph der Kosinusfunktion f ( x ) = cos x       ( m i t       x ∈ ℝ ) ist gegenüber dem Graphen der Sinusfunktion um π 2 in Richtung der negativen x-Achse verschoben. Deshalb gilt für die Nullstellen von f ( x ) = cos x , dass das alle Werte x mit x ∈ { π 2 + k ⋅ π ,       k ∈ ℤ } sind.
Die Tangensfunktion f ( x ) = tan x = sin x cos x hat unendlich viele Definitionslücken, nämlich gerade die Nullstellen der Kosinusfunktion. Die Nullstellen der Tangensfunktion stimmen mit den Nullstellen der Sinusfunktion überein, d.h., sie besitzt Nullstellen für alle Werte x ∈ { k ⋅ π ,       k ∈ ℤ } .

Funktionen der Form f ( x ) = a ⋅ sin ( b ⋅ ( x − c ) )

Viele periodische Vorgänge lassen sich durch Funktionen der Form f ( x ) = a ⋅ sin ( b ⋅ ( x − c ) ) beschreiben. Im Folgenden soll untersucht werden, welchen Einfluss a, b und c auf die Nullstellen derartiger Funktionen nehmen.

Für beliebige a ,   b ,   c ∈ ℝ       m i t       a ,   b > 0 gilt für die Periode p von f ( x ) = a ⋅ sin ( b ⋅ ( x − c ) ) :
  p = 2 π b

Den Graphen einer solchen Funktion f kann man sich aus dem Graphen der Sinusfunktion schrittweise entstanden denken:

  1. Der Faktor a bewirkt eine Streckung (Stauchung) in Richtung y-Achse mit dem Faktor a, d.h., die Funktionen f ( x ) = sin x und f ( x ) = a ⋅ sin x besitzen die gleichen Nullstellen.
  2. Der Faktor b bewirkt eine Streckung (Stauchung) in Richtung x-Achse mit dem Faktor 1 b . Das hat Einfluss auf die Nullstellen von f ( x ) = sin b x , das sind alle x-Werte mit x ∈ { k ⋅ π b ,       k ∈ ℤ } .
  3. Der Summand c bewirkt eine Verschiebung in Richtung x-Achse um c Einheiten, damit verschieben sich auch die Nullstellen um c.
  • Graph zur Funktion des Beispiels 1 (allgemeine Sinusfunktion)
  • Beispiel 1: Es sind die Nullstellen der Funktion f(x) = 2 ,5 ⋅ sin ( 1 2 ( x + π ) ) zu bestimmen.

Der Graph der Funktion f geht aus dem Graphen der Sinusfunktion hervor durch Streckung in Richtung der y-Achse mit dem Faktor 2,5, Streckung in Richtung der x-Achse mit dem Faktor 2 sowie eine Verschiebung in Richtung der x-Achse um π Einheiten nach links.
Man überlegt sich:

  1. Die Periode von f ist p = 4 π .
  2. Nullstellen nach Streckung in Richtung der y-Achse:
    x ∈ { x   |       x = k ⋅ π ,       k ∈ ℤ }
  3. Nullstellen nach Streckung in Richtung der x-Achse:
    x ∈ { x   |     x = 2 k ⋅ π ,       k ∈ ℤ }
  4. Nullstellen nach Verschiebung in Richtung der x-Achse:
    x ∈ { x   |     x = ( 2 k − 1 ) ⋅ π ,       k ∈ ℤ }

Nullstellen im Intervall [ 0 ;   4 π ] sind dann x 1 = π  und  x 2 = 3 π .

Verkettung trigonometrischer Funktionen mit anderen Funktionen
Häufig werden Sinus- und Kosinusfunktionen mit anderen Funktionen verkettet und verknüpft. Dann sind bei der Nullstellenbestimmung goniometrische Gleichungen (trigonometrische Gleichungen) zu lösen. Im Folgenden werden dazu einige Beispiele betrachtet.

  • Graph zur Funktion des Beispiels 2 (verkettete Sinusfunktion)
  • Beispiel 2: f ( x ) = 1 sinx

Die Funktion f hat für alle x ∈ { k ⋅ π ,       k ∈ ℤ } , und zwar für die Nullstellen der Sinusfunktion, Definitionslücken.
Nullstellen besitzt f nicht, da die Gleichung 1 sinx = 0 für kein x erfüllbar ist.
Die Funktionswerte von f sind größer gleich 1 bzw. kleiner gleich −   1 .

  • Graph zur Funktion des Beispiels 3 (verkettete Sinusfunktion)
  • Beispiel 3: f(x) = sin 1 x   ( x ≠ 0)

Bestimmen der Nullstellen heißt, die Gleichung sin 1 x = 0 zu lösen. Setzt man 1 x = z , so erhält man die Gleichung sin z = 0 , die für alle z = k ⋅ π ,       k ∈ ℤ erfüllt ist. Aus x = 1 z bzw. x = 1 k ⋅ π ,       k ∈ ℤ \ { 0 } folgt, dass die Funktion die Nullstellen 1 π    und  − 1 π hat und dazwischen unendlich viele weitere Nullstellen liegen.

  • Beispiel 4: f ( x ) = 4 sin 2 x + 5 sin x − 6

Berechnen der Nullstellen im Intervall [ 0 ;   π ] führt auf die folgende goniometrische Gleichung:
  4 sin 2 x + 5 sin x − 6 = 0
Mit der Substitution sin x = z erhält man:
  4z 2 + 5z − 6 = 0   z 2 + 5 4 z − 3 2 = 0 z 1;   2 = −   5 8 ± 25 64 + 96 64 = −   5 8 ± 11 8 z 1 = 3 4 ;       z 2 = −   2
Daraus folgt sin x = 3 4 und damit x 1 ≈ 0,848 . Im Intervall [ 0 ;   π ] gibt es mit x 2 = π − x 1 ≈ 2,294 eine weitere Lösung. Die Gleichung sin x = −   2 hat keine Lösung. Damit hat f im Intervall [ 0 ;   π ] zwei Nullstellen.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Nullstellen trigonometrischer Funktionen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/nullstellen-trigonometrischer-funktionen (Abgerufen: 20. May 2025, 05:54 UTC)

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