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Nullstellen von Wurzelfunktionen sowie Exponential- und Logarithmusfunktionen

Wurzelfunktionen sowie Exponential- und Logarithmusfunktionen gehören zur Klasse der nichtrationalen Funktionen. Zum Bestimmen der Nullstellen jener Funktionen untersucht man, an welchen Stellen f ( x ) = 0 gilt.
Dabei ist der jeweilige Definitionsbereich der Funktion zu beachten.
Die Graphen der „reinen“ Exponentialfunktionen der Form f ( x ) = a x       ( mit       a ,   c ,   x ∈ ℝ ;       a > 0 ;       a ≠ 1 ) verlaufen stets oberhalb der x-Achse und schneiden die y-Achse im Punkte ( 0 ;     1 ) , sie besitzen keine Nullstellen.
Alle „reinen“ Logarithmusfunktionen (als Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen zur gleichen Basis) besitzen eine Nullstelle für x 0 = 1 .

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Zur Klasse der nichtrationalen Funktionen gehören neben den trigonometrischen Funktionen die Wurzelfunktionen, die Exponential- und Logarithmusfunktionen. Zur Bestimmung der Nullstellen jener Funktionen untersucht man, an welchen Stellen f ( x ) = 0 gilt. Im Folgenden wird dies exemplarisch an ausgewählten Funktionen demonstriert.

  • Beispiel 1: Für die Funktion f ( x ) = x 3 + 2 x 2 sind der Definitionsbereich und die Nullstellen zu bestimmen.

Da die Wurzel nur aus nichtnegativen Zahlen gezogen werden kann, muss für den Radikanden gelten:
  x 3 + 2 x 2 ≥ 0  bzw.  x 2 ( x + 2 ) ≥ 0
Da x 2 ≥ 0  für alle  x ∈ ℝ gilt, folgt:
  x + 2 ≥ 0         x ≥ −   2

Damit gilt für den Definitionsbereich der Funktion f : D f = { x :       x ∈ ℝ ∧ x ≥ − 2 } .
Berechnung der Nullstellen ergibt:
  x 3 + 2 x 2         = 0   x 2 ( x + 2 ) = 0

Daraus folgt x 2 = 0 und somit x 1 = 0 bzw. x + 2 = 0 und damit x 2 = −   2 .
Der Graph der Funktion bestätigt das Ergebnis: Die Funktion hat zwei Nullstellen, und zwar x 1 = 0  und  x 2 = −   2 .

  • Graph einer „reinen“ Wurzelfunktion

Exponentialfunktionen

Funktionen mit einer Gleichung der Form
  f ( x ) = a x   bzw .   f ( x ) = c ⋅ a x       ( mit       a ,   c ,   x ∈ ℝ ;       a > 0 ;       a ≠ 1 )
heißen Exponentialfunktionen zur Basis a .

Die Graphen der „reinen“ Exponentialfunktionen verlaufen immer oberhalb der x -Achse (diese Achse ist waagerechte Asymptote), d.h., sie besitzen keine Nullstellen. Wegen a 0 = 1 für alle a , verlaufen die Graphen alle durch den Punkt ( 0 ;     1 ) auf der y -Achse.

Auch bei Funktionen des Typs f ( x ) = a h ( x ) spricht man in weitem Sinne von Exponentialfunktionen (obwohl es sich eigentlich um eine Verkettung zweier Funktionen handelt). Funktionen dieses Typs, wie z.B. f ( x ) = 3 −   x 2 + 2 x , besitzen ebenfalls keine Nullstellen.

  • Graph zweier verketteter Funktionen

In „nicht reinen“ Exponentialfunktionen kann es Nullstellen geben, wie das folgende Beispiel zeigt.

  • Beispiel 2: Die Funktion f ( x ) = e 1 x   −   3 − 2 ist auf Nullstellen zu untersuchen.

Der Definitionsbereich dieser Funktion ist D f = ℝ \ { 3 } .
Die Funktion ist an der Stelle x 0 = 3 nicht definiert; sie hat an dieser Stelle eine Definitionslücke.
Um mögliche Nullstellen zu ermitteln setzt man f ( x ) = 0 , d.h.:
  e 1 x   −   3 − 2 = 0
Durch Logarithmieren erhält man
  1 x − 3 ⋅ ln e = ln 2
und wegen ln e = 1 demzufolge
  x = 1 ln 2 + 3 ≈ 4,44
Diese Funktion hat also eine Nullstelle bei x 1 ≈ 4,44 .

  • Graph einer „ nicht reinen“ Exponentialfunktion

Logarithmusfunktionen

Logarithmusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen bei gleicher Basis, mit einer Gleichung der folgenden Form:
  f ( x ) = log a x     ( a ,   x ∈ ℝ ;       a > 0 ;    x  > 0;   a ≠ 1 )

Die Graphen der Logarithmusfunktionen entstehen demnach durch Spiegelung der Graphen der zugehörigen Exponentialfunktionen an der Geraden y = x .
Damit ist klar: Alle „reinen“ Logarithmusfunktionen besitzen eine Nullstelle für x 0 = 1 . In anderen Fällen müssen entsprechende Untersuchungen durchgeführt werden.

  • Beispiel 3: Die Funktion f ( x ) = 1 + ln |   x 2 − 1   | ist auf Nullstellen zu untersuchen.

Da der Term x 2 − 1 für x 1 = 1  und  x 2 = −   1 gleich null wird, hat die Funktion an diesen Stellen Definitionslücken, denn die Logarithmusfunktionen sind für den Wert Null nicht definiert. Damit ist der Definitionsbereich der Funktion f gleich der Menge der reellen Zahlen ohne die Zahlen −   1  und  1 , d.h., es ist D f = ℝ \ { −   1 ;   1 } .

Für die Berechnung der Nullstellen setzt man wieder f ( x ) = 0 und erhält:
  0 = 1 + ln |   x 2 − 1   |   bzw .   ln |   x 2 − 1   | = − 1

Potenziert man beide Seiten dieser Gleichung zur Basis e , so ergibt sich:
  e ln |   x 2 − 1   | = e −   1   |   x 2 − 1   |     = e −   1

Auflösen des absoluten Betrages führt zu
  x 2 − 1 = e −   1   bzw .   − ( x 2 − 1 ) = e −   1
und
  x 2 = 1 + e −   1  sowie  x 2 = 1 − e −   1 .

Es muss also gelten:
  |   x   | = 1 + e −   1   und   |   x   | = 1 − e − 1

Daraus bestimmt man x 1 ≈ − 1,1696,       x 2 ≈ 1,1696,       x 3 ≈ −   0,7951,       x 4 ≈ 0,7951 als die vier Nullstellen der Funktion f ( x ) = 1 + ln |   x 2 − 1   | .

  • Graph einer „ nicht reinen“ Logarithmusfunktion
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Nullstellen von Wurzelfunktionen sowie Exponential- und Logarithmusfunktionen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/nullstellen-von-wurzelfunktionen-sowie-exponential-und (Abgerufen: 20. May 2025, 15:17 UTC)

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