Nullstellen von Wurzelfunktionen sowie Exponential- und Logarithmusfunktionen

Zur Klasse der nichtrationalen Funktionen gehören neben den trigonometrischen Funktionen die Wurzelfunktionen, die Exponential- und Logarithmusfunktionen. Zur Bestimmung der Nullstellen jener Funktionen untersucht man, an welchen Stellen f ( x ) = 0 gilt. Im Folgenden wird dies exemplarisch an ausgewählten Funktionen demonstriert.

  • Beispiel 1: Für die Funktion f ( x ) = x 3 + 2 x 2 sind der Definitionsbereich und die Nullstellen zu bestimmen.

Da die Wurzel nur aus nichtnegativen Zahlen gezogen werden kann, muss für den Radikanden gelten:
x 3 + 2 x 2 0  bzw.  x 2 ( x + 2 ) 0
Da x 2 0  für alle  x gilt, folgt:
x + 2 0 x 2

Damit gilt für den Definitionsbereich der Funktion f : D f = { x : x x 2 } .
Berechnung der Nullstellen ergibt:
x 3 + 2 x 2 = 0 x 2 ( x + 2 ) = 0

Daraus folgt x 2 = 0 und somit x 1 = 0 bzw. x + 2 = 0 und damit x 2 = 2 .
Der Graph der Funktion bestätigt das Ergebnis: Die Funktion hat zwei Nullstellen, und zwar x 1 = 0  und  x 2 = 2 .

Graph einer „reinen“ Wurzelfunktion

Graph einer „reinen“ Wurzelfunktion

Exponentialfunktionen

Funktionen mit einer Gleichung der Form
f ( x ) = a x   bzw . f ( x ) = c a x ( mit   a , c , x ; a > 0 ; a 1 )
heißen Exponentialfunktionen zur Basis a .

Die Graphen der „reinen“ Exponentialfunktionen verlaufen immer oberhalb der x -Achse (diese Achse ist waagerechte Asymptote), d.h., sie besitzen keine Nullstellen. Wegen a 0 = 1 für alle a , verlaufen die Graphen alle durch den Punkt ( 0 ; 1 ) auf der y -Achse.

Auch bei Funktionen des Typs f ( x ) = a h ( x ) spricht man in weitem Sinne von Exponentialfunktionen (obwohl es sich eigentlich um eine Verkettung zweier Funktionen handelt). Funktionen dieses Typs, wie z.B. f ( x ) = 3 x 2 + 2 x , besitzen ebenfalls keine Nullstellen.

Graph zweier verketteter Funktionen

Graph zweier verketteter Funktionen

In „nicht reinen“ Exponentialfunktionen kann es Nullstellen geben, wie das folgende Beispiel zeigt.

  • Beispiel 2: Die Funktion f ( x ) = e 1 x 3 2 ist auf Nullstellen zu untersuchen.

Der Definitionsbereich dieser Funktion ist D f = \ { 3 } .
Die Funktion ist an der Stelle x 0 = 3 nicht definiert; sie hat an dieser Stelle eine Definitionslücke.
Um mögliche Nullstellen zu ermitteln setzt man f ( x ) = 0 , d.h.:
e 1 x 3 2 = 0
Durch Logarithmieren erhält man
1 x 3 ln e = ln 2
und wegen ln e = 1 demzufolge
x = 1 ln 2 + 3 4,44
Diese Funktion hat also eine Nullstelle bei x 1 4,44 .

Graph einer „ nicht reinen“ Exponentialfunktion

Graph einer „ nicht reinen“ Exponentialfunktion

Logarithmusfunktionen

Logarithmusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen bei gleicher Basis, mit einer Gleichung der folgenden Form:
f ( x ) = log a x ( a , x ; a > 0 ;    x  > 0; a 1 )

Die Graphen der Logarithmusfunktionen entstehen demnach durch Spiegelung der Graphen der zugehörigen Exponentialfunktionen an der Geraden y = x .
Damit ist klar: Alle „reinen“ Logarithmusfunktionen besitzen eine Nullstelle für x 0 = 1 . In anderen Fällen müssen entsprechende Untersuchungen durchgeführt werden.

  • Beispiel 3: Die Funktion f ( x ) = 1 + ln | x 2 1 | ist auf Nullstellen zu untersuchen.

Da der Term x 2 1 für x 1 = 1  und  x 2 = 1 gleich null wird, hat die Funktion an diesen Stellen Definitionslücken, denn die Logarithmusfunktionen sind für den Wert Null nicht definiert. Damit ist der Definitionsbereich der Funktion f gleich der Menge der reellen Zahlen ohne die Zahlen 1  und  1 , d.h., es ist D f = \ { 1 ; 1 } .

Für die Berechnung der Nullstellen setzt man wieder f ( x ) = 0 und erhält:
0 = 1 + ln | x 2 1 |   bzw . ln | x 2 1 | = 1

Potenziert man beide Seiten dieser Gleichung zur Basis e , so ergibt sich:
e ln | x 2 1 | = e 1 | x 2 1 | = e 1

Auflösen des absoluten Betrages führt zu
x 2 1 = e 1   bzw . ( x 2 1 ) = e 1
und
x 2 = 1 + e 1  sowie  x 2 = 1 e 1 .

Es muss also gelten:
| x | = 1 + e 1   und   | x | = 1 e 1

Daraus bestimmt man x 1 1,1696, x 2 1,1696, x 3 0,7951, x 4 0,7951 als die vier Nullstellen der Funktion f ( x ) = 1 + ln | x 2 1 | .

Graph einer „ nicht reinen“ Logarithmusfunktion

Graph einer „ nicht reinen“ Logarithmusfunktion

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