Kettenregel der Differenzialrechnung

Die Kettenregel der Differenzialrechnung besagt das Folgende:

  • Es sei die Funktion u (Definitionsbereich D u ) an der Stelle x 0 und die Funktion v (Definitionsbereich D v mit W u D v ) an der Stelle u ( x 0 ) differenzierbar.
    Dann ist auch die verkettete Funktion f = v u in x 0 differenzierbar und es gilt f ' ( x 0 ) = v ' ( u ( x 0 ) ) u ' ( x 0 ) .
    Mit anderen Worten: Die Ableitung einer verketteten Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitungen von äußerer und innerer Funktion an der jeweiligen Stelle.

Beweis der Kettenregel

Wir bilden den Differenzenquotienten von f und erweitern diesen mit u ( x ) u ( x 0 ) 0 :

     d ( x ) = v ( u ( x ) ) v ( u ( x 0 ) ) x x 0 = v ( u ( x ) ) v ( u ( x 0 ) ) u ( x ) u ( x 0 ) u ( x ) u ( x 0 ) x x 0

Mit u ( x ) = t u n d u ( x 0 ) = t 0 erhält man für den Grenzwert des Differenzenquotienten:

lim x x 0 d ( x ) = lim x x 0 v ( t ) v ( t 0 ) t t 0 lim x x 0 u ( x ) u ( x 0 ) x x 0

Da u ( x ) in differenzierbar ist, gilt lim x x 0 u ( x ) u ( x 0 ) x x 0 = u ' ( x 0 ) .
Da aus der Differenzierbarkeit an einer Stelle die Stetigkeit folgt, ist u ( x ) dann auch stetig in x 0 , d.h., es gilt lim x x 0 u ( x ) = u ( x 0 ) bzw. lim x x 0 [ u ( x ) u ( x 0 ) ] = lim x x 0 ( t t 0 ) = 0.

Mit anderen Worten: Bei der Grenzwertbildung zu v ' ( t 0 ) kann x x 0 durch t t 0 ersetzt werden. Da nach Voraussetzung v an der Stelle t 0 = u ( x 0 ) differenzierbar ist, gilt also:

lim t t 0 v ( t ) v ( t 0 ) t t 0 = v ' ( t 0 ) = v ' ( u ( x 0 ) )

Damit ist aber:
   f ' ( x 0 ) = v ' ( u ( x 0 ) ) u ' ( x 0 ) w . z . b . w .

Leibnizsche Schreibweise

Für die Anwendung der Kettenregel ist eine auf der Schreibweise d y d x anstelle von f ' ( x ) beruhende Notation sehr einprägsam:

  • Ist y = f ( x ) = v ( z ) und z = u ( x ) , dann gilt: d y d x = d y d z d z d x ,
    wobei d z d x = u ' ( x ) die Ableitung der inneren Funktion und d y d z = v ' ( z ) die Ableitung der äußeren Funktion ist.

Beispiel 1: Es ist die Ableitung der Funktion y = f ( x ) = ( x 4 x 3 + 2 x 2 1 ) 25 nach der Kettenregel zu bilden.

In diesem Falle ist z = u ( x ) = x 4 x 3 + 2 x 2 1, v ( z ) = z 25 und demzufolge u ' ( x ) = d z d x = 4 x 3 3 x 2 + 4 x sowie v ' ( z ) = d y d z = 25 z 24 .

Dann gilt:
f ' ( x ) = d y d x = d y d z d z d x = 25 z 24 ( 4 x 3 3 x 2 + 4 x ) = 25 ( x 4 x 3 + 2 x 2 1 ) 24 ( 4 x 3 3 x 2 + 4 x )

Bei komplizierteren Termstrukturen wie etwa in g ( x ) = x 2 1 ( x + 2 ) 2 ( 2 x 7 ) ist die Verwendung eines CAS vorteilhaft.

CAS-Beispiel für die Anwendung der Kettenregel

CAS-Beispiel für die Anwendung der Kettenregel

Anwendung auf mehrfach verkettete Funktionen

Die Kettenregel ist auch auf mehrfach verkettete Funktionen anwendbar.
Es gilt dann sinngemäß:

  • Ist f eine über den Definitionsbereich differenzierbare und mehrfach verkettete Funktion, dann gilt:
    f ' ( x ) = d y d x = d y d z 1 d z 1 d z 2 ... d z n 1 d z n d z n d x

Beispiel 2: Es sei die Funktion mit der Gleichung y = f ( x ) = ( e ln x ) 2 ( x > 0 ) betrachtet. Diese lässt sich zu y = f ( x ) = x vereinfachen und hat demzufolge die Ableitung y ' = f ' ( x ) = 1 .

Würde man obige Regel anwenden, dann ergäbe sich mit den Einzelfunktionen y = z 1 ; z 1 = z 2 2 ; z 3 = ln x sowie d y d z 1 = 1 2 z 1 ; d z 1 d z 2 = 2 z 2 ; d z 2 d z 3 = e z 3 ; d z 3 d x = 1 x als deren Ableitungen:

d y d x = 1 2 z 1 2 z 2 e z 3 1 x = 1 2 z 2 2 z 2 e ln x 1 x = 1 x 1 x = 1

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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