Ableitung von Potenzfunktionen

Die Potenzregel ist über die natürlichen Zahlen als Exponenten hinaus auch auf Potenzfunktionen $y=f\left(x\right)=x^n$ mit ganzzahligen Exponenten n $\left(falls{x}_0\ne 0\right)$, mit rationalen Exponenten n $\left(x>0\right)$ und sogar mit reellen Exponenten n $\left(x>0\right)$ anwendbar. Man nennt diesen Sachverhalt auch die erweiterte Potenzregel.

Beispiel 1: Für die Ableitung von $f\left(x\right)=x^9$ ergibt sich nach der Potenzregel:
$f^{\prime }\left(x\right)=9\cdot x^{9-1}=9x^8$

Beispiel 2: Als Ableitung von $f\left(x\right)=7x^8$ erhält man nach Faktor- und Potenzregel:
$f^{\prime }\left(x\right)=7\cdot \left(8\cdot x^7\right)=56x^7$

Beispiel 3: Es ist der Anstieg des Graphen der Funktion $f\left(x\right)=x^4$ an der Stelle $x_0=3$ zu bestimmen.

Die Ableitung von $f\left(x\right)=x^4$ ist $f^{\prime }\left(x\right)=4x^3$ (Potenzregel). Für $x_0=3$ erhält man $f^{\prime }\left(2\right)=4\cdot 3^3=108$. Der Anstieg des Graphen der Funktion $f\left(x\right)=x^4$ im Punkt $P\left(3;81\right)$ ist $m=\tan \alpha =108$.

Beispiel 4: Es ist die Ableitung der Funktion $f\left(x\right)=\frac{5}{6x^3}\left(x\ne 0\right)$ zu bestimmen.

Wegen $f\left(x\right)=\frac{5}{6}{x}^{-3}$ gilt $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{5}{6}\cdot \left(-3\right)x^{-4}=-\frac{5}{2x^4}$.

Beispiel 5: An welcher Stelle $x_0$ besitzt der Graph der Funktion $f\left(x\right)=\sqrt{x}\left(x>0\right)$ die Steigung $m=3$?

Aus $f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}$ ergibt sich $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$
Die Gleichung $\frac{1}{2\sqrt{x}}=3$hat die Lösung $x_0=\frac{1}{36}.$
Das heißt: Der Graph der Funktion $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ hat an der Stelle $x_0=\frac{1}{36}.$ die Steigung 3.