Ableitung von Potenzfunktionen

Die Potenzregel ist über die natürlichen Zahlen als Exponenten hinaus auch auf Potenzfunktionen y = f ( x ) = x n mit ganzzahligen Exponenten n ( f a l l s x 0 0 ) , mit rationalen Exponenten n ( x > 0 ) und sogar mit reellen Exponenten n ( x > 0 ) anwendbar. Man nennt diesen Sachverhalt auch die erweiterte Potenzregel.

Beispiel 1: Für die Ableitung von f ( x ) = x 9 ergibt sich nach der Potenzregel:
f ( x ) = 9 x 9 1 = 9 x 8

Beispiel 2: Als Ableitung von f ( x ) = 7 x 8 erhält man nach Faktor- und Potenzregel:
f ( x ) = 7 ( 8 x 7 ) = 56 x 7

Beispiel 3: Es ist der Anstieg des Graphen der Funktion f ( x ) = x 4 an der Stelle x 0 = 3 zu bestimmen.

Die Ableitung von f ( x ) = x 4 ist f ( x ) = 4 x 3 (Potenzregel). Für x 0 = 3 erhält man f ( 2 ) = 4 3 3 = 108 . Der Anstieg des Graphen der Funktion f ( x ) = x 4 im Punkt P ( 3 ; 81 ) ist m = tan α = 108 .

Beispiel 4: Es ist die Ableitung der Funktion f ( x ) = 5 6 x 3 ( x 0 ) zu bestimmen.

Wegen f ( x ) = 5 6 x 3 gilt f ( x ) = 5 6 ( 3 ) x 4 = 5 2 x 4 .

Beispiel 5: An welcher Stelle x 0 besitzt der Graph der Funktion f ( x ) = x ( x > 0 ) die Steigung m = 3 ?

Aus f ( x ) = x 1 2 ergibt sich f ( x ) = 1 2 x 1 2 = 1 2 x .
Die Gleichung 1 2 x = 3 hat die Lösung x 0 = 1 36 .
Das heißt: Der Graph der Funktion f ( x ) = x hat an der Stelle x 0 = 1 36 . die Steigung 3.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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