Potenzregel der Differenzialrechnung

Die Potenzregel der Differenzialrechnung besagt das Folgende:

• Die Funktion $f\left(x\right)=x^n\left(n\in \mathbb{N};n\ge 1\right)$ ist differenzierbar und es gilt $f^{\prime }\left(x\right)=n\cdot x^{n-1}$.

Beweis der Potenzregel

Schreibt man den Differenzenquotienten in der Form $d\left(x\right)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$,
so erhält man für $f\left(x\right)=x^n$:
$d\left(x\right)=\frac{x^n-x_0{}^n}{x-x_0}\left(x\ne x_0\right)$

Wegen $x\ne x_0$ ist die Polynomdivision ausführbar und ergibt:
$\begin{array}{l}\left(x^n-x_0{}^n\right):\left(x-x_0\right)\\ =x^{n-1}+x_0\cdot x^{n-2}+x_0{}^2\cdot x^{n-3}+\mathrm{...}+x_0{}^{n-2}\cdot x+x_0{}^{n-1}\end{array}$

Daraus erhält man die Ableitung, indem man den Grenzwert für $x\to x_0$ bildet:$\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(x^{n-1}+x_0\cdot x^{n-2}+x_0{}^2\cdot x^{n-3}+\mathrm{...}+x_0{}^{n-2}\cdot x+x_0{}^{n-1}\right)\\ =x_0{}^{n-1}+x_0\cdot x_0{}^{n-2}+x_0{}^2\cdot x_0{}^{n-3}+\mathrm{...}+x_0{}^{n-2}\cdot x_0+x_0{}^{n-1}\\ =x_0{}^{n-1}+x_0{}^{n-1}+x_0{}^{n-1}+\mathrm{...}+x_0{}^{n-1}+x_0{}^{n-1}\\ =n\cdot x_0{}^{n-1}\end{array}$

• Beispiel 1: Für die Ableitung von $f\left(x\right)=x^9$ ergibt sich nach der Potenzregel:
  $f^{\prime }\left(x\right)=9\cdot x^{9-1}=9x^8$
   
• Beispiel 2: Als Ableitung von $f\left(x\right)=7x^8$ erhält man nach Faktor- und Potenzregel:
  $f^{\prime }\left(x\right)=7\cdot \left(8\cdot x^7\right)=56x^7$
   
• Beispiel 3: Es ist der Anstieg des Graphen der Funktion $f\left(x\right)=x^4$ an der Stelle $x_0=3$ zu bestimmen.
  
  Die Ableitung von $f\left(x\right)=x^4$ ist $f^{\prime }\left(x\right)=4x^3$ (Potenzregel).
  Für $x_0=3$ erhält man $f^{\prime }\left(2\right)=4\cdot 3^3=108$.
  Der Anstieg des Graphen der Funktion $f\left(x\right)=x^4$ im Punkt $P\left(3;81\right)$ ist $m=\tan \alpha =108$.

Die Potenzregel ist über die natürlichen Zahlen als Exponenten hinaus auch auf Potenzfunktionen $y=f\left(x\right)=x^n$ mit ganzzahligen Exponenten n $\left(falls{x}_0\ne 0\right)$, mit rationalen Exponenten n $\left(x>0\right)$ und sogar mit reellen Exponenten n $\left(x>0\right)$ anwendbar. Man nennt diesen Sachverhalt auch die erweiterte Potenzregel .

• Beispiel 4: Es ist die Ableitung der Funktion $f\left(x\right)=\frac{5}{6x^3}\left(x\ne 0\right)$ zu bestimmen.
  
  Wegen $f\left(x\right)=\frac{5}{6}{x}^{-3}$ gilt $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{5}{6}\cdot \left(-3\right)x^{-4}=-\frac{5}{2x^4}$.
   
• Beispiel 5: An welcher Stelle $x_0$ besitzt der Graph der Funktion $f\left(x\right)=\sqrt{x}\left(x>0\right)$ die Steigung $m=3$?
  
  Aus $f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}$ ergibt sich $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$
  Die Gleichung $\frac{1}{2\sqrt{x}}=3$ hat die Lösung $x_0=\frac{1}{36}.$
  Das heißt:
  Der Graph der Funktion $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ hat an dieser Stelle die Steigung 3.