Faktorregel der Differenzialrechnung

Der Differenzenquotient von f an der Stelle x 0 ist dann:

d ( h ) = k g ( x 0 + h ) k g ( x 0 ) h = k g ( x 0 + h ) g ( x 0 ) h ( m i t h 0 ; x 0 D f )

Damit gilt für die Ableitung von f, da nach den Grenzwertsätzen für Funktionen der Grenzwert eines Produktes gleich dem Produkt der Grenzwerte seiner Faktoren (so diese existieren) ist:

f ( x 0 ) = lim h 0 k lim h 0 g ( x 0 + h ) g ( x 0 ) h = k g ( x 0 )

und damit wegen der beliebigen Wahl von x 0

f ( x ) = k g ( x ) .

Es gilt die Faktorregel der Differenzialrechnung:

  • Ist g einen differenzierbare Funktion, so ist auch die Funktion f mit f ( x ) = k g ( x ) ( k ) differenzierbar und es gilt f ( x ) = k g ( x ) .
    Mit anderen Worten:
    Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten – im Unterschied zu einem konstanten Summanden, dessen Ableitung gleich null ist.

Die Ableitung einer Funktion f ( x ) = k g ( x ) und damit ihre Steigung an einer bestimmten Stelle x 0 ist also stets gleich dem k-fachen der Ableitung der Funktion g an dieser Stelle.

Das heißt: Der Graph der Funktion f ( x ) = k g ( x ) geht aus dem Graphen von g durch Streckung um das k-fache in y-Richtung hervor - in demselben Verhältnis, wie auch die Graphen von f = k g und g zueinander stehen.

Der Graph der Funktionen f und g zeigt die Beziehungen zwischen den Funktionen f und g sowie die Beziehungen zwischen ihren Anstiegen an einer Stelle x 0 für f = 8 g .

An dieser Stelle gilt hier f ( x 0 ) = 8 g ( x 0 ) und
Tangentenanstieg von  f = 8  Tangentenanstieg von  g .

Beziehungen zwischen zwei Funktionen f und g sowie ihren Anstiegen an einer Stelle

Beziehungen zwischen zwei Funktionen f und g sowie ihren Anstiegen an einer Stelle

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

Lexikon Share
Mathe Note verbessern?
 

Kostenlos bei Duden Learnattack registrieren und ALLES 48 Stunden testen.

Kein Vertrag. Keine Kosten.

  • 40.000 Lern-Inhalte in Mathe, Deutsch und 7 weiteren Fächern
  • Hausaufgabenhilfe per WhatsApp
  • Original Klassenarbeiten mit Lösungen
  • Deine eigene Lern-Statistik
  • Kostenfreie Basismitgliedschaft
Beliebte Artikel
alle anzeigen

Einloggen