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Additionsverfahren

Werden die beiden linearen Gleichungen eines Gleichungssystems addiert, um die Lösung des Gleichungssystems zu erhalten, so wird dieses Verfahren Additionsverfahren genannt.

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen wird mit dem Additionsverfahren in folgenden Schritten gelöst:

  1. Falls nötig wird eine Gleichung oder werden beide lineare Gleichungen so umgeformt, dass bei Addition der Gleichungen eine der beiden Variablen wegfällt.
  2. Beide Gleichungen werden addiert.
  3. Die entstandene lineare Gleichung mit nur einer Variablen wird gelöst.
  4. Die so erhaltene Lösung wird in eine der beiden Ausgangsgleichungen eingesetzt und diese Gleichung gelöst.

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Werden die beiden linearen Gleichungen eines Gleichungssystems addiert, um die Lösung des Gleichungssystems zu erhalten, so wird dieses Verfahren Additionsverfahren genannt.
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen wird mit dem Additionsverfahren in folgenden Schritten gelöst:

  1. Falls nötig wird eine Gleichung oder werden beide lineare Gleichungen so umgeformt, dass bei Addition der Gleichungen eine der beiden Variablen wegfällt.
  2. Beide Gleichungen werden addiert.
  3. Die entstandene lineare Gleichung mit nur einer Variablen wird gelöst.
  4. Die so erhaltene Lösung wird in eine der beiden Ausgangsgleichungen I oder II eingesetzt und diese Gleichung gelöst.
  5. Es wird eine Probe mit beiden Ausgangsgleichungen durchgeführt.
  6. Die Lösungsmenge des Gleichungssystems wird angegeben.
  • Veranschaulichung des Additionsverfahrens

Beispiel:

I           x + 2 y = 5     |   ⋅ 2 I I   − 2   x + 3   y = 4 I a       2   x + 4   y = 10 I I     − 2   x + 3   y = 4 ¯ I a + I I               7   y = 14

Durch die Addition ist die Variable x in der neuen Gleichung nicht mehr vorhanden. Die Gleichung mit einer Variablen wird nun gelöst.
7   y = 14     |   :     7     y = 2

Man setzt nun in eine der beiden Ausgangsgleichungen für y den Wert 2 ein und erhält wieder eine Gleichung mit nur einer Variablen (x). Auch diese wird nun gelöst.

In     I   y = 2   eingesetzt     oder     in     II   y = 2   eingesetzt    x + 2 ⋅ 2 = 5                            − 2   x + 3 ⋅ 2 = 4         x + 4 = 5     |   − 4                           − 2   x + 6 = 4     |   − 6                                                           − 2   x = − 2       |   : ( − 2 )               x = 1                                               x = 1

Probe:
                            Gleichung   I               Gleichung   II linke S .             1 + 2 ⋅ 2 = 1 + 4 = 5         − 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 = − 2 + 6 = 4 rechte S .                                                     5                                   4 Vergleich                   5 = 5                               4 = 4 Lösungsmenge:        L = { ( 1;   2 ) }

Die grafische Lösung des linearen Gleichungssystems ist in Bild 2 dargestellt.

  • Grafische Lösung des linearen Gleichungssystems
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Additionsverfahren." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/additionsverfahren (Abgerufen: 20. May 2025, 12:22 UTC)

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Lösbarkeitskriterien für homogene lineare Gleichungssysteme

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Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem besitzt nur dann Lösungen, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist. Ist dieser gleich der Anzahl der Variablen, so existiert genau eine Lösung; ist er kleiner als die Anzahl der Variablen, dann existieren unendlich viele Lösungen.
Ist der Rang der Koeffizientenmatrix kleiner als der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix, dann besitzt das Gleichungssystem keine Lösung.

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