Additionsverfahren

Werden die beiden linearen Gleichungen eines Gleichungssystems addiert, um die Lösung des Gleichungssystems zu erhalten, so wird dieses Verfahren Additionsverfahren genannt.
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen wird mit dem Additionsverfahren in folgenden Schritten gelöst:

1. Falls nötig wird eine Gleichung oder werden beide lineare Gleichungen so umgeformt, dass bei Addition der Gleichungen eine der beiden Variablen wegfällt.
2. Beide Gleichungen werden addiert.
3. Die entstandene lineare Gleichung mit nur einer Variablen wird gelöst.
4. Die so erhaltene Lösung wird in eine der beiden Ausgangsgleichungen I oder II eingesetzt und diese Gleichung gelöst.
5. Es wird eine Probe mit beiden Ausgangsgleichungen durchgeführt.
6. Die Lösungsmenge des Gleichungssystems wird angegeben.

Beispiel:

$\begin{array}{l}Ix+2y=5|\cdot 2\\ II-2x+3y=4\\ \\ Ia2x+4y=10\\ \underset{¯}{II-2x+3y=4}\\ Ia+II7y=14\end{array}$

Durch die Addition ist die Variable x in der neuen Gleichung nicht mehr vorhanden. Die Gleichung mit einer Variablen wird nun gelöst.
$\begin{array}{l}\text{7}\text{y}=\text{14}|\text{:}\text{7}\\ \text{y}=\text{2}\end{array}$

Man setzt nun in eine der beiden Ausgangsgleichungen für y den Wert 2 ein und erhält wieder eine Gleichung mit nur einer Variablen (x). Auch diese wird nun gelöst.

$\begin{array}{l}\text{In}\text{I}\text{y}=\text{2}\text{eingesetzt}\text{oder}\text{in}\text{II}\text{y}=\text{2}\text{eingesetzt}\\ x+2\cdot 2=5-2x+3\cdot 2=4\\ x+4=5|-\text{4}-2x+6=4|-6\\ -2x=-2|:\left(-2\right)\\ x=1x=1\end{array}$

Probe:
$\begin{array}{l}\text{Gleichung}\text{I}\text{Gleichung}\text{II}\\ \text{linke S}\text{.}1+2\cdot 2=1+4=5-2\cdot 1+3\cdot 2=-2+6=4\\ \text{rechte S}\text{.}\text{5}\text{4}\\ \text{Vergleich }5=54=4\\ \text{Lösungsmenge: }\text{L}=\left\{\left(\text{1;}\text{2}\right)\right\}\end{array}$

Die grafische Lösung des linearen Gleichungssystems ist in Bild 2 dargestellt.