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Ähnlichkeit von Dreiecken

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn die entsprechenden Seiten gleiche Streckenverhältnisse bilden und die einander entsprechenden Winkel gleich groß sind.

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Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn die entsprechenden Seiten gleiche Streckenverhältnisse bilden und die einander entsprechenden Winkel gleich groß sind.

  • Ähnliche Dreiecke

    (c) Duden Learnattack

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen (Hauptähnlichkeitssatz).
ww: α = α ´ ,     β = β ´
Da die Winkelsumme im Dreieck immer 180° beträgt, stimmen die Dreiecke auch im dritten Winkel überein. Die Streckenverhältnisse brauchen nicht berücksichtigt zu werden.

  • Hauptähnlichkeitssatz

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in den Streckenverhältnissen aller entsprechender Seiten übereinstimmen.
sss: a ´ a = k ,     b ´ b = k ,       c ´ c = k

  • Ähnlichkeitssatz sss

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in den Streckenverhältnissen zweier Seiten und dem jeweils eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.
sws: a ´ a = k ,     b ´ b = k ,       γ = γ ´

  • Ähnlichkeitssatz sws

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in den Streckenverhältnissen zweier Seiten und dem Winkel übereinstimmen, der jeweils der größeren Seite gegenüberliegt.
SsW: a ´ a = k ,     c ´ c = k ,       γ = γ ´ ,     c > a ,     c ´ > a ´

  • Ähnlichkeitssatz SsW

Anwendung finden die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke vorwiegend beim Beweisen. So erfolgt einer der zahlreichen Beweise für den Satz des Pythagoras über die Ähnlichkeit von Dreiecken. Da im rechtwinkligen Dreieck die durch die Höhe über der Hypotenuse gebildeten Teildreiecke untereinander und dem Gesamtdreieck ähnlich sind, gilt:

ca=ap⇔a2=cp\frac{c}{a}=\frac{a}{p}\Leftrightarrowa^2=cp und

cb=bq⇔b2=cq\frac{c}{b}=\frac{b}{q}\Leftrightarrowb^2=cq

So ergibt sich durch Addition der Beziehungen

a2+b2=cp+cq=c⋅(p+q)=c⋅c=c2

Was zu zeigen war.

  • Rechtwinkliges Dreieck
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Ähnlichkeit von Dreiecken." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/aehnlichkeit-von-dreiecken (Abgerufen: 07. July 2025, 18:20 UTC)

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  • Ähnlichkeit
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Schreibweise: F 1 ≅ F 2
Kongruente Figuren lassen sich durch eine Verschiebung, eine Spiegelung, eine Drehung oder eine Zusammensetzung von ihnen aufeinander abbilden.

Kongruenz von Figuren

Zwei Figuren F   1 und F   2 sind zueinander kongruent (deckungsgleich) genau dann, wenn sie die gleiche Form und Größe haben.
In zueinander kongruenten Figuren sind alle einander entsprechenden Strecken und Winkel gleich groß.
Kongruente Figuren lassen sich durch eine Verschiebung, eine Spiegelung, eine Drehung oder eine Zusammensetzung von ihnen aufeinander abbilden.

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