Ähnlichkeit von Dreiecken

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn die entsprechenden Seiten gleiche Streckenverhältnisse bilden und die einander entsprechenden Winkel gleich groß sind.

Ähnliche Dreiecke

Ähnliche Dreiecke

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen (Hauptähnlichkeitssatz).
ww: α = α ´ , β = β ´
Da die Winkelsumme im Dreieck immer 180° beträgt, stimmen die Dreiecke auch im dritten Winkel überein. Die Streckenverhältnisse brauchen nicht berücksichtigt zu werden.

Hauptähnlichkeitssatz

Hauptähnlichkeitssatz

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in den Streckenverhältnissen aller entsprechender Seiten übereinstimmen.
sss: a ´ a = k , b ´ b = k , c ´ c = k

Ähnlichkeitssatz sss

Ähnlichkeitssatz sss

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in den Streckenverhältnissen zweier Seiten und dem jeweils eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.
sws: a ´ a = k , b ´ b = k , γ = γ ´

Ähnlichkeitssatz sws

Ähnlichkeitssatz sws

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in den Streckenverhältnissen zweier Seiten und dem Winkel übereinstimmen, der jeweils der größeren Seite gegenüberliegt.
SsW: a ´ a = k , c ´ c = k , γ = γ ´ , c > a , c ´ > a ´

Ähnlichkeitssatz SsW

Ähnlichkeitssatz SsW

Anwendung finden die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke vorwiegend beim Beweisen. So erfolgt einer der zahlreichen Beweise für den Satz des Pythagoras über die Ähnlichkeit von Dreiecken. Da im rechtwinkligen Dreieck die durch die Höhe über der Hypotenuse gebildeten Teildreiecke untereinander und dem Gesamtdreieck ähnlich sind, gilt:
q + p a = a p , a l s o a 2 = p ( q + p ) b z w . q + p b = b p , a l s o b 2 = q ( q + p )

So ergibt sich durch Addition der Beziehungen:

a 2 + b 2 = ( p + q ) ( q + p ) = c c = c 2 ( w . z . b . w . )

Rechtwinkliges Dreieck

Rechtwinkliges Dreieck

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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