Ähnlichkeit von Dreiecken

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn die entsprechenden Seiten gleiche Streckenverhältnisse bilden und die einander entsprechenden Winkel gleich groß sind.

Ähnlichkeit

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Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn die entsprechenden Seiten gleiche Streckenverhältnisse bilden und die einander entsprechenden Winkel gleich groß sind.

Ähnliche Dreiecke

Ähnlichkeit von Dreiecken - Geodreiecke

Geodreiecke

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Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen (Hauptähnlichkeitssatz).
ww: $α = α ´, β = β ´$
Da die Winkelsumme im Dreieck immer 180° beträgt, stimmen die Dreiecke auch im dritten Winkel überein. Die Streckenverhältnisse brauchen nicht berücksichtigt zu werden.

Hauptähnlichkeitssatz

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in den Streckenverhältnissen aller entsprechender Seiten übereinstimmen.
sss: $\frac{a ´}{a} = k, \frac{b ´}{b} = k, \frac{c ´}{c} = k$

Ähnlichkeitssatz sss

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in den Streckenverhältnissen zweier Seiten und dem jeweils eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.
sws: $\frac{a ´}{a} = k, \frac{b ´}{b} = k, γ = γ ´$

Ähnlichkeitssatz sws

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in den Streckenverhältnissen zweier Seiten und dem Winkel übereinstimmen, der jeweils der größeren Seite gegenüberliegt.
SsW: $\frac{a ´}{a} = k, \frac{c ´}{c} = k, γ = γ ´, c > a, c ´ > a ´$

Ähnlichkeitssatz SsW

Anwendung finden die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke vorwiegend beim Beweisen. So erfolgt einer der zahlreichen Beweise für den Satz des Pythagoras über die Ähnlichkeit von Dreiecken. Da im rechtwinkligen Dreieck die durch die Höhe über der Hypotenuse gebildeten Teildreiecke untereinander und dem Gesamtdreieck ähnlich sind, gilt:

$\frac{c}{a}=\frac{a}{p}\Leftrightarrowa^2=cp$ und

$\frac{c}{b}=\frac{b}{q}\Leftrightarrowb^2=cq$

So ergibt sich durch Addition der Beziehungen

$a^{2} + b^{2} = c p + c q = c \cdot (p + q) = c \cdot c = c^{2}$

Was zu zeigen war.

Rechtwinkliges Dreieck

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