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Ähnlichkeit von Dreiecken

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn die entsprechenden Seiten gleiche Streckenverhältnisse bilden und die einander entsprechenden Winkel gleich groß sind.

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Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn die entsprechenden Seiten gleiche Streckenverhältnisse bilden und die einander entsprechenden Winkel gleich groß sind.

  • Ähnliche Dreiecke

    (c) Duden Learnattack

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen (Hauptähnlichkeitssatz).
ww: α = α ´ ,     β = β ´
Da die Winkelsumme im Dreieck immer 180° beträgt, stimmen die Dreiecke auch im dritten Winkel überein. Die Streckenverhältnisse brauchen nicht berücksichtigt zu werden.

  • Hauptähnlichkeitssatz

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in den Streckenverhältnissen aller entsprechender Seiten übereinstimmen.
sss: a ´ a = k ,     b ´ b = k ,       c ´ c = k

  • Ähnlichkeitssatz sss

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in den Streckenverhältnissen zweier Seiten und dem jeweils eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.
sws: a ´ a = k ,     b ´ b = k ,       γ = γ ´

  • Ähnlichkeitssatz sws

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in den Streckenverhältnissen zweier Seiten und dem Winkel übereinstimmen, der jeweils der größeren Seite gegenüberliegt.
SsW: a ´ a = k ,     c ´ c = k ,       γ = γ ´ ,     c > a ,     c ´ > a ´

  • Ähnlichkeitssatz SsW

Anwendung finden die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke vorwiegend beim Beweisen. So erfolgt einer der zahlreichen Beweise für den Satz des Pythagoras über die Ähnlichkeit von Dreiecken. Da im rechtwinkligen Dreieck die durch die Höhe über der Hypotenuse gebildeten Teildreiecke untereinander und dem Gesamtdreieck ähnlich sind, gilt:

ca=ap⇔a2=cp\frac{c}{a}=\frac{a}{p}\Leftrightarrowa^2=cp und

cb=bq⇔b2=cq\frac{c}{b}=\frac{b}{q}\Leftrightarrowb^2=cq

So ergibt sich durch Addition der Beziehungen

a2+b2=cp+cq=c⋅(p+q)=c⋅c=c2

Was zu zeigen war.

  • Rechtwinkliges Dreieck
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Ähnlichkeit von Dreiecken." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/aehnlichkeit-von-dreiecken (Abgerufen: 29. June 2025, 20:28 UTC)

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Ähnlichkeitsabbildungen

Eine Figur F 1 heißt ähnlich zur Figur F 2 , wenn sie durch eine maßstäbliche Vergrößerung oder Verkleinerung aus F 2 hervorgegangen ist. Das konstante Verhältnis der einander entsprechen Strecken heißt Ähnlichkeitsfaktor k.

Schreibweise: F 1 ~ F 2

Ähnlichkeit von Figuren

Eine Figur F 2 heißt ähnlich zur Figur F 1 , wenn sie durch eine maßstäbliche Vergrößerung oder Verkleinerung aus F 1 hervorgegangen ist. Das konstante Verhältnis der einander entsprechenden Strecken heißt Ähnlichkeitsfaktor k. Schreibweise: F 2 ~ F 1

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