Algebra, Fundamentalsatz

Als Fundamentalsatz der Algebra wird folgende Aussage bezeichnet:
Jedes Polynom der Form P ( n ) = x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 + ... + a 1 x + a 0 ( n 1 )
hat mindestens eine Nullstelle, die aber nicht reell sein muss.

Die Diskussion über die Anzahl von Lösungen linearer Gleichungen, quadratischer Gleichungen, kubischer Gleichungen usw. basiert auf dem Fundamentalsatz der Algebra:

  • Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten haben eine Lösung, die nach äquivalenten Umformungen angegeben werden kann.
     
  • Quadratische Gleichungen haben zwei Lösungen. Es sind unterschiedliche Fälle zu betrachten:
    a) beide Lösungen sind reell und verschieden,
    b) beide Lösungen sind reell und gleich; es liegt also eine doppelt zählende Lösung vor,
    c) es gibt im Bereich der reellen Zahlen keine Lösungen; dieser Fall tritt ein, wenn die Diskriminante negativ ist.
    (Das heißt aber nicht, dass es keine Lösungen gibt. Es ist eine Erweiterung des Bereichs der reellen Zahlen zum Bereich der komplexen Zahlen möglich, und in diesem gibt es dann zwei Lösungen.)
     
  • Eine Gleichung dritten Grades (kubische Gleichung) hat stets mindesten eine reelle Lösung; die beiden anderen Lösungen können entweder ebenfalls reell und verschieden, reell und gleich oder nicht reell sein.

Ist eine Nullstelle x 0 eines Polynoms bekannt, so ist das Polynom ohne Rest durch ( x x 0 ) teilbar. Dadurch kann ein Polynom n-ten Grades als ein Produkt eines Polynoms (n – 1)-ten Grades und dem Linearfaktor ( x x 0 ) dargestellt werden:
P n ( x ) = ( x x 0 ) P n 1 ( x )
Da der Fundamentalsatz für das im Grad um 1 reduzierte Polynom auch gilt, erhält man die Aussage, dass ein Polynom n-ten Grades genau n Nullstellen hat.

Einen ersten vollständigen Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra lieferte Carl
Friedrich Gauß 1799 in seiner Dissertation.

 

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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