Antinomien
Man spricht von einer Antinomie (einem echtem Paradoxon), wenn eine Aussage auf einen Widerspruch zurückgeführt wird, der nicht lösbar ist.
Neben dem Lügner-Paradoxon von EPIMENIDES gehört das Barbier-Paradoxon des britischen Mathematiker BERTRAND RUSSELL (1872 bis 1970) zu den bekannten Antinomien.
Das Barbier-Paradoxon gehört zur Gruppe der russellschen Antinomien.
Man spricht von einer Antinomie (oder auch einem Paradoxon), wenn aus einer Aussage ein Widerspruch entsteht, der nicht lösbar ist.
Dabei unterscheidet man logische Antinomien und semantische Antinomien.
Eine logische Antinomie ergibt sich bei Benutzung der üblichen Schlussregeln in einer Theorie. Zu den wohl bekanntesten logischen Antinomien gehört das Barbier-Paradoxon:
In einer Stadt wohnt ein Mann und arbeitet dort als Barbier (Friseur). Er erhält den Auftrag, die und nur die Männer der Stadt zu rasieren, die sich nicht selbst rasieren. Männer, die sich selbst rasieren, darf der Barbier also keinesfalls rasieren.
R ist die Menge aller Dorfbewohner, die der Friseur rasiert. Die Bildung dieser Menge zeigt den Widerspruch: Wenn der Friseur sich selbst rasiert, gehört er zu R. Weil er aber alle „Selbstrasierer“ nicht rasieren darf, darf er sich nicht rasieren, gehört also doch nicht zu R.
Dieser Widerspruch ist nicht aufzulösen.
Aus Sicht der Mengenlehre besteht das Problem hier in der Möglichkeit, eine Menge zu definieren, die alle Mengen umfasst, die sich nicht selbst als Element enthalten.
Um die von GEORG CANTOR entwickelte Mengenlehre nicht infrage stellen zu müssen, reicht es aus, Mengen, die sich selbst enthalten, auszuschließen.
Antinomien mit einer Struktur wie sie das Barbier-Paradoxon hat, werden russellsche Antinomien genannt.
Eine weitere logische Antinomie ist die folgende, 1899 von GEORG CANTOR überlieferte Antinomie:
Sie geht von dem Theorem aus, wonach jede Menge mehr Teilmengen als Elemente hat. Wird dies auf die Menge aller Mengen angewendet, muss diese jedoch mehr Teilmengen haben, als es überhaupt Mengen gibt, was offensichtlich unmöglich ist.
Eine semantische Antinomie ergibt sich infolge des unkontrollierten Gebrauches von Begriffsbildungen, insbesondere auch durch die Vermengung von Sprachebenen.
Ein Beispiel dafür ist BERRYs Antinomie, die B. RUSSEL 1906 veröffentlichte:
Man gehe davon aus, dass es die kleinste Zahl, die nicht mit weniger als fünfundzwanzig Silben beschrieben werden kann, gibt. Obwohl diese Zahl nach Voraussetzung nicht mit weniger als 25 Silben beschrieben werden kann, besitzt die hervorgehoben markierte Beschreibung dieser Zahl nur 23 Silben.
Hieran wird deutlich, wie unscharfer Sprachgebrauch (Was ist Beschreibung einer Zahl – das Zahlwort?) Widersprüche auslösen kann.
Eine weitere semantische Antinomie ist die Antinomie des Lügners:
In einer überlieferten Variante behauptet der Kreter EPIMENIDES, dass alle Leute von Kreta lügen. (In der Antike galten die Kreter als notorische Lügner.)
Wenn die Behauptung des EPIMENIDES wahr ist, lügt er (weil er ja auch ein Kreter ist), die Behauptung muss also falsch sein.
Ist die Behauptung des EPIMENIDES dagegen falsch, lügt er ebenfalls. Die Behauptung des EPIMENIDES ist also falsch, unabhängig davon, ob sie als wahr oder falsch angesehen wird.
