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Berechnungen am Kreis

Um den Umfang u eines Kreises mit dem Durchmesser d zu bestimmen, kann man von den Umfängen eines einbeschriebenen und eines umbeschriebenen Vielecks ausgehen, z. B. eines regelmäßigen Sechsecks. Für den Umfang des Kreises gilt:
u = π ⋅ d = π ⋅ 2 r

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Umfang eines Kreises

Um den Umfang u eines Kreises mit dem Durchmesser d zu bestimmen, kann man von den Umfängen eines einbeschriebenen und eines umbeschriebenen Vielecks ausgehen, z. B. eines regelmäßigen Sechsecks (Bild 1). Der Umfang u u 6 des einbeschriebenen Sechsecks ( u u 6 = 3 · d) ist kleiner, der Umfang u u 6 des umbeschriebenen Sechsecks ( u u 6 = 3,46 · d) ist größer als der Umfang des Kreises:
3 ⋅ d < u < 3,46 ⋅ d

Der Faktor, mit dem man d multiplizieren muss, um u zu erhalten, ist eine der wichtigsten und interessantesten mathematischen Konstanten. Sie wird mit π bezeichnet:
π = 3,141592653589793238…
Näherungsweise wird oft π = 3,14 verwendet.

Für den Umfang des Kreises gilt:
u = π ⋅ d = π ⋅ 2 r

  • Umfang eines Kreises

 

Länge eines Kreisbogens

Die Länge eines Kreisbogens b hängt von der Länge des Durchmessers und von der Größe des zugehörigen Mittelpunktswinkels α ab (Bild 2). Für den ganzen Kreis ist der Mittelpunktswinkel 360 ° und die Länge des Bogens gleich dem Umfang, woraus sich die Proportion b : α = u : 360 ° ergibt.

Für die Länge des zum Mittelpunktswinkel gehörenden Bogens gilt:
b = u ⋅ α 360 °     m i t     u = 2 π r
b = 2 π r ⋅ α 360 ° = π r α 180 °

  • Länge eines Kreisbogens

Flächeninhalt eines Kreises

Wenn man um und in einen Kreis jeweils ein Quadrat zeichnet, kann man mithilfe dieser Quadrate den Flächeninhalt eines Kreises einschachteln (Bild 3).

A i = 2 r ⋅ r 2 ⋅ 2       A ä = 2 r ⋅ 2 r A i = 2 r 2             A ä = 4 r 2 A i         <       A K r e i s     <     A ä 2 r 2     <       A K r e i s     <     4 r 2

Der Flächeninhalt eines Kreises liegt also zwischen 2 r 2 und 4 r 2 .

  • Flächeninhalt eines Kreises

Eine weitere Möglichkeit, den Flächeninhalt des Kreises zu bestimmen, ist die Zerlegung in Teilflächen, die sich annähernd zu einem Parallelogramm mit der Grundseite u 2 und der Höhe r umlegen lassen (Bild 4).
Bei Vergrößerung der Anzahl der Teilflächen wird die Annäherung an ein Parallelogramm immer besser.
Für den Flächeninhalt A eines Kreises gilt dann:
A = u 2 ⋅ r
Für u = 2 π r eingesetzt ergibt sich:
A = 2 π r 2 ⋅ r = π r 2
Der Flächeninhalt eines Kreises ist das Produkt aus der Kreiszahl und dem Quadrat seines Radius r. Es gilt:
A = π   r 2 bzw. A = π ⋅ d 2 4

  • Flächenumwandlung

Flächeninhalt eines Kreisausschnitts (Kreissektors)

Der Teil einer Kreisfläche, der von zwei Radien r und einem Kreisbogen b begrenzt wird, heißt Kreisausschnitt (Bild 5).
Der Flächeninhalt A eines Kreisausschnitts ist proportional zu dem zugehörigen Mittelpunktswinkel α , da sich bei Verdopplung von α auch A verdoppelt. Der Anteil des Flächeninhalts des Kreisausschnitts A am Flächeninhalt des Kreises π ⋅ r 2 entspricht dem Anteil des Mittelpunktswinkels α am Vollwinkel 360 ° .

In einem Kreis mit dem Radius r gilt für den Flächeninhalt A eines Kreisausschnitts mit dem dazugehörigen Mittelpunktswinkel α :
A = π ⋅ r 2 ⋅ α 360 °

  • Flächeninhalt eines Kreissektors

Flächeninhalt eines Kreisabschnitts (Kreissegments)

Der Flächeninhalt des Kreisabschnitts ergibt sich aus der Differenz der Flächeninhalte des Kreisausschnitts und des Dreiecks ABM (Bild 6):
A = 1 2 ⋅ b ⋅ r − 1 2 ⋅ s ( r − h )

  • Flächeninhalt eines Kreisabschnitts

Flächeninhalt eines Kreisrings

Für den Flächeninhalt eines Kreisrings gilt (Bild 7):
A = π ⋅ r 2 2 − π ⋅ r 1 2

  • Flächeninhalt eines Kreisrings
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Berechnungen am Kreis." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/berechnungen-am-kreis (Abgerufen: 20. May 2025, 18:16 UTC)

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Euler, Mathematische Beiträge

LEONHARD EULER (1707 bis 1783), Schweizer Mathematiker und Physiker
*  15. März 1707 Basel
† 18. September 1783 St. Petersburg

Die Würdigung der mathematischen Beiträge EULERs muss sich hier auf einige ausgewählte Beispiele beschränken.

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Kreis

Der Kreis ist die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt M der Ebene den gleichen Abstand r haben.
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Nach dieser Definition ist der Kreis eine Linie, die Kreislinie. Der Mittelpunkt M gehört nach dieser Definition nicht zum Kreis.
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Geraden am Kreis


Geraden und Kreise können verschiedene Lagen zueinander haben:

  • Eine Gerade, die den Kreis in zwei Punkten schneidet, heißt Sekante (Schneidende). Eine Sekante, die durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft, nennt man Zentrale.
  • Die Strecke zwischen den Punkten A und B ist eine Sehne des Kreises. Die längste Sehne im Kreis ist der Durchmesser d.
  • Eine Gerade, die den Kreis in einem Punkt berührt, heißt Tangente (Berührende).
  • Eine Gerade, die den Kreis in keinem Punkt schneidet, heißt Passante (Vorbeigehende).

Claudius Ptolemäus

CLAUDIUS PTOLEMÄUS, griechischer Astronom und Mathematiker
* um 85 n. Chr. Ägypten
† um 170 n. Chr.  Alexandria

CLAUDIUS PTOLEMÄUS war ein bedeutender antiker Astronom und hat auch Werke über Mathematik, Geografie, Optik und Astrologie hinterlassen. Er entwickelte das geozentrische Weltbild mit der Erde als Mittelpunkt, das bis ins späte Mittelalter die Wissenschaft beherrschte.

Apollonioskreis

Die Menge aller der Punkte P (einer Ebene), die von einem festen Punkt A doppelt so weit entfernt sind, wie von einem zweiten festen Punkt B, liegt auf einem Kreis, dem sogenannten Apollonios-Kreis.

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