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Gleichungssysteme, drei Gleichungen

Jede Lösung eines Gleichungssystems aus drei Gleichungen mit drei Variablen ist ein Zahlentripel. Beim Lösen von linearen Gleichungssystemen mit mehr als zwei Gleichungen und Variablen geht man systematisch vor.

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Gleichungen der Form ax + by + cz = d mit den Variablen x, y, z (a, b, c, d ∈ ℚ ) heißen lineare Gleichungen mit drei Variablen. Jede Lösung einer solchen Gleichung ist ein Zahlentripel.

Beim Lösen von linearen Gleichungssystemen mit mehr als zwei Gleichungen und Variablen geht man systematisch vor. Es kann in Verallgemeinerung des Einsetzungsverfahrens auf folgende Weise gelöst werden:
(1) Eine Gleichung wird nach einer Variablen aufgelöst und in allen anderen Gleichungen wird die Variable durch den erhaltenen Term ersetzt.
(2) Der Schritt (1) wird so lange fortgesetzt, bis nur noch eine Gleichung vorhanden ist. Dann können für alle anderen Variablen wieder schrittweise Werte oder Terme ermittelt werden.

In vielen Fällen lässt sich jedoch durch geschicktes Addieren oder Subtrahieren zweier Gleichungen eine günstige Umformung des Systems erreichen, die schneller zum Ziel führt.
Hat der linke Teil eines Systems die Form eines Dreiecks (Beispiel im Bild unten), kann man durch „Rückwärtseinsetzen“ das System lösen:

Ix + y + z =   1  
II4y – 8z = –4 mit a = 0
IIIz =   1 mit a = 0, b = 0

Ziel ist es, das System so umzuformen, dass eine Dreiecksform entsteht. Dazu kann das Additionsverfahren benutzt werden. Äquivalente Umformungen sind u. a.:

  • Gleichungen vertauschen
  • Beide Seiten einer Gleichung mit derselben von 0 verschiedenen Zahl multiplizieren
  • Beide Seiten einer Gleichung durch dieselbe von 0 verschiedene Zahl dividieren
  • Eine Gleichung zu einer anderen Gleichung addieren
  • Eine Gleichung von einer anderen Gleichung subtrahieren
Aus III ergibt sich sofort:  z = 1 
z = 1 in II einsetzen und nach y auflösen:4y - 8 · 1 = -4
y = 1
 
z = 1 und y = 1 in I einsetzen und nach x auflösen:x + 1 + 1 = 1
x = -1
 

Probe durch einsetzen der Werte für x, y und z in das ursprüngliche lineare Gleichungssystem:

linke Seiterechte SeiteVergleich
I -1 + 1 + 1 = 111 = 1 w. A.
II 4 · 1 – 8 · 1 = -4-4-4 = -4 w. A.
III 1 = 111 = 1 w. A.

Die Lösungsmenge ist L = {(1|1|-1)}.

Diese Vorgehensweise zum Lösen von Gleichungssystemen heißt gaußscher Algorithmus.

  • Gleichungssystem in Dreiecksform
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Gleichungssysteme, drei Gleichungen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/gleichungssysteme-drei-gleichungen (Abgerufen: 20. May 2025, 16:37 UTC)

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  • lineare Gleichungen
  • Gleichungssystemen
  • Dreiecksform
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  • gaußscher Algorithmus
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Gaußsches Eliminierungsverfahren (Gauß-Algorithmus)

Das auf CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 bis 1855) zurückgehende Verfahren beruht auf dem Additions- bzw. Subtraktionsverfahren (Verfahren der gleichen Koeffizienten).
Die Lösungsstrategie besteht in der äquivalenten Umformung des gegebenen Gleichungssystems mit mehreren Variablen (Unbekannten) in eine Gleichung mit nur einer Unbekannten.

Lösbarkeitskriterien für homogene lineare Gleichungssysteme

Ein homogenes lineares Gleichungssystem ist stets lösbar. Es besitzt immer den Nullvektor als Lösung (trivialen Lösung). Dieser ist genau dann die einzige Lösung, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich der Anzahl der Variablen ist.
Ist der Rang der Koeffizientenmatrix kleiner als die Anzahl der Variablen, so besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

Lösbarkeitskriterien für inhomogene lineare Gleichungssysteme

Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem besitzt nur dann Lösungen, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist. Ist dieser gleich der Anzahl der Variablen, so existiert genau eine Lösung; ist er kleiner als die Anzahl der Variablen, dann existieren unendlich viele Lösungen.
Ist der Rang der Koeffizientenmatrix kleiner als der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix, dann besitzt das Gleichungssystem keine Lösung.

Cramersche Regel

Lineare Gleichungssysteme können mithilfe von Determinanten gelöst werden. Eine entsprechende Regel dazu entwickelte der Schweizer Mathematiker GABRIEL CRAMER (1704 bis 1752).

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