Kugelvolumen, Herleitung

Zur Herleitung der Formel für das Volumen einer Kugel kann nach einer Idee von GALILEI ein Körper geschaffen werden, der in gleichen Höhen den gleichen Querschnitt wie eine Halbkugel hat. Ein solcher Körper entsteht, wenn man aus einem Kreiszylinder mit dem Grundflächenradius r und der Höhe r einen Kreiskegel mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe herausschneidet (Bild 1).

Werden dieser Restköper und eine Halbkugel mit dem gleichen Radius r in der gleichen Höhe x durch eine Ebene geschnitten, haben die Schnittflächen den gleichen Flächeninhalt, wie die folgende Überlegung an einem Schnitt durch beide Körper zeigt (Bild 2).

Da das hervorgehobene Dreieck gleichschenklig ist, gilt:
r1=x

Für den Flächeninhalt A1 des Kreisringes ergibt sich demzufolge:
A1=πr2πr12=πr2πx2=π(r2x2)

Nach dem Satz des Pythagoras gilt für die Halbkugel r2=x2+r22 und deshalbA2=πr22=π(r2x2);
also ist A1=A2.

Nach dem Satz des Cavalieri gilt dann
VHalbkugel=VZylinderVKegel=πr2h13πr2h=23πr2h

und folglich gilt für das Volumen einer Kugel:
VKugel=43πr2h

Halbkugel mit Schnittfläche
Schnitt durch Körper

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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