Lagemaße

Zur Charakterisierung von Stichproben, vor allem solchen mit großem Umfang n, werden spezielle Werte (auch Maße genannt) herangezogen. Diese Kenngrößen von Häufigkeitsverteilungen ermöglichen insbesondere den Vergleich statistischer Untersuchungen. Man unterscheidet hierbei zwischen Lagemaßen und Streumaßen (Streuungsmaßen).

Kenngrößen der Lage beschreiben Häufigkeitsverteilungen durch Angabe „mittlerer Werte“. Dabei ist die Wahl unterschiedlicher Mittelwerte möglich. Am bekanntesten davon ist wohl das arithmetische Mittel , das auch als Durchschnitt bezeichnet wird (z. B. Zensurendurchschnitt).

Das arithmetische Mittel $\overline{x}$ der Beobachtungsergebnisse (Werte) $x_1,x_2\mathrm{...}{x}_n$ erhält man, indem die Summe der Werte durch deren Anzahl n dividiert wird, d. h., es ist:
$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\mathrm{...}+x_n}{n}=\frac{1}{n}\cdot {\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i}$

Beispiele:
Es ist jeweils das arithmetische Mittel $\overline{x}$ der gegebenen Größen $x_1,x_2\mathrm{...}{x}_n$ zu berechnen:

$\begin{array}{l}•x_1=\mathrm{4,34}m{x}_2=\mathrm{3,91}m{x}_3=\mathrm{4,05}m\\ x_4=\mathrm{4,71}m{x}_5=\mathrm{4,12}m{x}_6=\mathrm{4,37}m\\ \overline{x}=\frac{\mathrm{25,50}m}{6}=\mathrm{4,25}m\end{array}$

$\begin{array}{l}•x_1=\mathrm{0,3}°C{x}_2=\mathrm{1,1}°C{x}_3=-\mathrm{0,9}°C{x}_4=-\mathrm{6,0}°C\\ x_5=-\mathrm{2,8}°C{x}_6=\mathrm{5,1}°C{x}_7=\mathrm{4,6}°C\\ \overline{x}=\frac{\mathrm{1,4}°C}{7}=\mathrm{0,2}°C\end{array}$

Treten bei einer Stichprobe Ergebnisse (Werte) mehrfach auf, vereinfacht sich die Berechnung des arithmetischen Mittels. Für die mit einer absoluten Häufigkeit $H_1,H_2\mathrm{...}H{}_k$ auftretenden Werte $x_1,x_2\mathrm{...}x{}_k$ gilt dann:
$\overline{x}=\frac{H{}_1\cdot x{}_1+H_2\cdot x{}_2+\mathrm{...}+H_k\cdot x{}_k}{n}\left(n,k\in \mathbb{N};k\le n\right)$
Man spricht in diesem Zusammenhang auch vom gewogenen arithmetischen Mittel mit den Wägungsfaktoren $H_1,H_2\mathrm{...}H{}_k$.

Beispiel:
Die folgende Häufigkeitstabelle gibt das Ergebnis 50-maligen Würfelns an:
 

Somit ist:
$\overline{x}=\frac{8\cdot 1+6\cdot 2+7\cdot 3+5\cdot 4+11\cdot 5+13\cdot 6}{50}=\mathrm{3,88}$
Unter Verwendung der relativen Häufigkeiten $h{}_1,h_2\mathrm{...}{h}_k$ lässt sich das arithmetische Mittel vereinfacht folgendermaßen berechnen:
$\overline{x}=h_1\cdot x_1+h_2\cdot x_2+\mathrm{...}+h_k\cdot x_k\left(n,k\in \mathbb{N};k\le n\right)$

Das arithmetische Mittel $\overline{x}$ muss unter den Beobachtungsergebnissen (Werten) nicht vorkommen, auch muss es nicht in der Nähe des häufigsten Wertes (dem sogenannten Modalwert) liegen bzw. die Mitte einer Häufigkeitsverteilung kennzeichnen. Zudem wird es von „Ausreißern“(sehr großen oder kleinen Werten) stark beeinflusst.
Aus diesem Grunde betrachtet man häufig einen weiteren Mittelwert, den Zentralwert :

Unter dem Zentralwert (Median) $\tilde{x}$ wird der in der Mitte stehende Wert der nach der Größe geordneten Werte $x_1,x_2\mathrm{...}{x}_n$ verstanden.
Stehen (bei geradzahligem n) zwei Werte in der Mitte, so ergibt sich der Zentralwert $\tilde{x}$ als das arithmetische Mittel dieser beiden Werte.

Im obigen Beispiel des 50-maligen Würfelns ergibt sich als Zentralwert 4.
Anmerkung: Besonders einfach lassen sich Zentralwerte aus Häufigkeitstabellen, aber auch anhand von Stängel-Blatt-Diagrammen ermitteln.