- Lexikon
- Mathematik
- 3 Zahlen und Rechnen
- 3.1 Natürliche Zahlen
- 3.1.1 Zahlbegriff; Zahldarstellungen
- Natürliche Zahlen, axiomatischer Aufbau
Neben der naiven, von Mengenvorstellungen und Anordnungen ausgehenden Gewinnung der natürlichen Zahlen oder einem streng mengentheoretisch fundierten Vorgehen ist auch ein sogenannter axiomatischer Aufbau der natürlichen Zahlen (und darauf fußend aller anderen Zahlenbereiche) möglich. Dabei wird von Grundsätzen (Axiomen) ausgegangen, die in ihrer Gesamtheit einleuchtend, vollständig, zueinander widerspruchsfrei und voneinander unabhängig sein müssen. Diese bilden dann ein Axiomensystem.
Ein solches Vorgehen benutzte bereits EUKLID (griechischer Mathematiker um 300 v. Chr.), der in seinem Werk „Elemente“ einen streng wissenschaftlichen, systematischen Aufbau der Geometrie entwickelte, an dessen Spitze er Definitionen, Axiome und Postulate stellte.
Für die natürlichen Zahlen gab der italienische Mathematiker GIUSEPPE PEANO (1858 bis 1932) folgendes (später nach ihm benanntes) Axiomensystem an:
Aus diesen Axiomen lassen sich alle Eigenschaften der natürlichen Zahlen und alle Gesetze für das Rechnen mit ihnen ableiten.
Anmerkungen:
Stand: 2010
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