Natürliche Zahlen, axiomatischer Aufbau

Neben der naiven, von Mengenvorstellungen und Anordnungen ausgehenden Gewinnung der natürlichen Zahlen oder einem streng mengentheoretisch fundierten Vorgehen ist auch ein sogenannter axiomatischer Aufbau der natürlichen Zahlen (und darauf fußend aller anderen Zahlenbereiche) möglich. Dabei wird von Grundsätzen (Axiomen) ausgegangen, die in ihrer Gesamtheit einleuchtend, vollständig, zueinander widerspruchsfrei und voneinander unabhängig sein müssen. Diese bilden dann ein Axiomensystem.

Ein solches Vorgehen benutzte bereits EUKLID (griechischer Mathematiker um 300 v. Chr.), der in seinem Werk „Elemente“ einen streng wissenschaftlichen, systematischen Aufbau der Geometrie entwickelte, an dessen Spitze er Definitionen, Axiome und Postulate stellte.

Für die natürlichen Zahlen gab der italienische Mathematiker GIUSEPPE PEANO (1858 bis 1932) folgendes (später nach ihm benanntes) Axiomensystem an:

1. 1 ist eine natürliche Zahl.
2. Jede natürliche Zahl hat genau einen Nachfolger.
3. 1 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl.
4. Jede natürliche Zahl ist Nachfolger höchstens einer natürlichen Zahl.
5. Wenn eine Aussage über natürliche Zahlen für 1 richtig ist, und wenn aus ihrer Richtigkeit für irgendeine natürliche Zahl n ihre Richtigkeit für den Nachfolger n' folgt, so gilt die Aussage für alle natürlichen Zahlen.

Aus diesen Axiomen lassen sich alle Eigenschaften der natürlichen Zahlen und alle Gesetze für das Rechnen mit ihnen ableiten.

Anmerkungen:

• Nach dem obigen peanoschen Axiomensystem gehört die Zahl 0 nicht zu den natürlichen Zahlen. Will man sie dazurechnen, muss man in den Axiomen 1, 3 und 5 die Zahl 1 durch die Zahl 0 ersetzen.
• Das 5. Axiom ist das Prinzip der vollständigen Induktion.