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Eine Zahl, die gleich der Summe ihrer echten Teiler ist, heißt vollkommene Zahl. Die ersten vier vollkommenen Zahlen 6, 28, 496 und 8128 waren bereits den alten Griechen bekannt.

Das Axiomensystem bei EUKLID (und HILBERT) ist nicht willkürlich gewählt worden, sondern eine Abstraktion aus der jahrtausendelangen Erfahrungswelt des Menschen. Die dazugehörige Geometrie ist daher die Geometrie unseres Anschauungsraumes.
Bis zum Ende des 19. Jh. lag der gesamten Naturwissenschaft und Technik diese euklidische Geometrie zugrunde.

Die Geometrie (griechisch, Erdmessung) mit ihren Teildisziplinen Planimetrie (griechisch, Flächenmessung) und Stereometrie (griechisch, Körpermessung) untersucht die uns umgebende Wirklichkeit auf sehr abstrakte Weise. Sie beschäftigt sich nur mit den äußeren Formen der Gegenstände und lässt die stoffliche Zusammensetzung der Dinge und damit die biologischen, physikalischen und chemischen Eigenschaften unberücksichtigt.

EUKLID VON ALEXANDRIA (etwa 365 bis etwa 300 v. Chr.), griechisch-hellenistischer Mathematiker

EUKLID fasste in den „Elementen“ wesentliche Teile des mathematischen Wissens seiner Zeit zusammen und gründete sie auf Axiome bzw. Postulate. Eine besondere Rolle spielte in der Geschichte der Mathematik EUKLIDs fünftes Postulat, das sogenannte Parallelenaxiom. Der Versuch, dieses Axiom zu beweisen, führte zu einer Gabelung in die euklidische Geometrie einerseits und nichteuklidische Geometrien andererseits.
Mit dem Namen EUKLIDs verbunden sind weiterhin die Begriffe euklidischer Algorithmus, euklidischer Beweis sowie der Satz von EUKLID.
Bekannt sind ferner Arbeiten EUKLIDs zur geometrischen Optik.

In seinem Hauptwerk „Die Elemente“ legt EUKLID VON ALEXANDRIA (etwa 365 bis etwa 300 v.Chr.) einen systematischen Aufbau der Geometrie vor. Dabei spielt das sogenannte Parallelenaxiom eine besondere Rolle.
Zum Ende des 18. Jahrhunderts setzte sich immer mehr die Erkenntnis durch, dass das Parallelenaxiom nicht aus den anderen Axiomen EUKLIDS ableitbar und damit für den Aufbau der euklidischen Geometrie unverzichtbar ist.
Ausgehend von der Negation des Parallelenaxioms gelang es, völlig neue und in sich widerspruchsfreie Geometrien aufzubauen. Der russische Mathematiker LOBATSCHEWSKI und der Ungar JANOS BOLAYI entdeckten unabhängig voneinander zunächst die hyperbolische Geometrie, BERNHARD RIEMANN entwickelte später die elliptische Geometrie.
Speziell gehört es heute zu den aktuellen Fragen der Physik, welche der Geometrien das Universum im Großen am besten beschreibt. Ist es also elliptisch (sphärisch), euklidisch (eben) oder hyperbolisch?

Bis zum Beginn des 20. Jahrhunderts sind unter der großen Zahl der auf dem Gebiet der Mathematik tätigen Wissenschaftler nur wenige Namen von Frauen zu finden; zu nennen sind HYPATIA VON ALEXANDRIA (um 400), die Französin GABRIELLE-EMILIE DU CHÂTELET-LOMONT (1706 bis 1746), die Italienerin MARIA GAËTANA AGNESI (1718 bis 1799) sowie die Französin MARIE-SOPHIE GERMAIN (1776 bis 1831). Dieser Zustand ist den damaligen gesellschaftlichen Verhältnissen geschuldet, die von Vorurteilen gegenüber Frauen geprägt waren und diese vom wissenschaftlichen Leben nahezu ausschlossen.
Zu den wenigen, die trotz aller Hindernisse eine wissenschaftliche Laufbahn aufnehmen konnten, zählen später die Russin SOPHIA WASSILJEWNA KOWALEWSKAJA (1850 bis 1891) sowie die deutsche Mathematikerin EMMY NOETHER (1882 bis 1935).

Durch Axiomensysteme werden mathematische Begriffe mithilfe einer Reihe von einfachen Festlegungen, die man Axiome nennt, charakterisiert.
An ein mathematisches Axiomensystem werden eine Reihe von Bedingungen gestellt. So sollte es z.B. widerspruchsfrei sein.

In der kritischen Auseinandersetzung zur Entstehung der nichteuklidischen Geometrien, durch die die Auffassung von der Alleingültigkeit der Geometrie EUKLIDs und damit der genauen Beschreibung des realen physikalischen Raumes beseitigt wurde, hatte die axiomatische Methode zum Aufbau einer Theorie, die inzwischen Grundlage des Theorieaufbaus vieler Bereiche der modernen Mathematik ist, eine besondere Bedeutung.

Die Mathematik ist vor allem gekennzeichnet durch ihren weitestgehend deduktiven (axiomatischen) Aufbau, durch die Genauigkeit ihrer Begriffe sowie die Strenge ihrer Beweise. Sie steht in enger Wechselbeziehung mit anderen Wissenschaften, insbesondere den Naturwissenschaften.
Im Folgenden werden Informationen zu Teilgebieten und zur Geschichte der Mathematik gegeben.

Neben der naiven, von Mengenvorstellungen und Anordnungen ausgehenden Gewinnung der natürlichen Zahlen oder einem streng mengentheoretisch fundierten Vorgehen ist auch ein sogenannter axiomatischer Aufbau der natürlichen Zahlen möglich. Dabei wird von Grundsätzen ausgegangen, die in ihrer Gesamtheit einleuchtend, vollständig, zueinander widerspruchsfrei und voneinander unabhängig sein müssen. Diese bilden dann ein Axiomensystem.