Vollkommene Zahlen

Eine Zahl, die gleich der Summe ihrer echten Teiler ist, heißt vollkommene Zahl.

  • 6 ist eine vollkommene Zahl, weil 6 = 1 + 2 + 3.
  • Unter 100 gibt es nur eine weitere vollkommene Zahl, nämlich
    28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
  • Im Zahlenraum bis 1000 gibt es nur eine weitere vollkommene Zahl, nämlich 496.
    Aus der Primfaktorzerlegung 496=2431 ergeben sich die Teiler und ihre Summe:
    1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496
  • Die nächste vollkommene Zahl ist 8128.

Historisches

Die ersten vier vollkommenen Zahlen 6, 28, 496 und 8128 waren bereits den alten Griechen bekannt. Sie spielten in der Zahlenmystik der Pythagoreer (PYTHAGORAS um 540 v. Chr.) eine Rolle. EUKLID (um 300 v. Chr.) geht im neunten Buch seiner Elemente auf diese Zahlen ein.
Mit den vollkommenen Zahlen haben sich Mathematiker aller Epochen beschäftigt, z. B. CATALDI (1552 bis 1626), MERSENNE (1588 bis 1648), EULER (1707 bis 1783).

In mittelalterlichen Manuskripten findet man die fünfte vollkommene Zahl, sie lautet: 33 550 336. Die beiden nächsten gab 1588 CATALDI an, er fand 8 589 869 056 und
137 438 691 328.
Bis heute ist nicht geklärt, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt und ob eine größte vollkommene Zahl existiert.

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