Polynomdivision

Beim Berechnen der Lösungen von algebraischen Gleichungen höheren Grades ist ein zweckmäßiges und mögliches Vorgehen, nach dem Bestimmen einer Lösung $x_1$ durch Division durch $\left(x-x_1\right)$ das Polynom der linken Seite der Gleichung auf ein Polynom zu reduzieren, dessen Grad um 1 kleiner ist. Die Operation, die es dabei also auszuführen gilt, ist eine Polynomdivision.

Der Wurzelsatz von VIETA für quadratische Gleichungen sagt aus, dass ein quadratisches Polynom der Form $x^2+px+q$ bei Kenntnis der reellen Nullstellen $x_1$ und $x_2$ wie folgt in der Form eines Produkts geschrieben werden kann:
$x^2+px+q=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$
Das heißt in Worten: Kennt man von einem quadratischen Polynom eine Nullstelle $x_1$, so ist das Polynom durch das lineare Polynom $\left(x-x_1\right)$ ohne Rest teilbar.

Was oben für das quadratische Polynom gesagt und gezeigt wurde, lässt sich verallgemeinern. Ohne Beweis sei hier mitgeteilt, dass ein Polynom n-ten Grades (mit $a_n=1$) mit der Nullstelle $x_1$ sich ohne Rest durch $\left(x-x_1\right)$ teilen lässt, der Quotient ist dann vom Grade $n-1$. Mathematisch formuliert:
$\left(x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\mathrm{...}+a_{1}x+a_0\right):\left(x-x_1\right)=x^{n-1}+b_{n-2}{x}^{n-2}+\mathrm{...}+b_{1}x+b_0$

Beispiel 1:
Dieses Beispiel soll an das Dividieren anknüpfen, wie man es aus dem Zahlenrechnen kennt.
Man geht beim Dividieren durch Polynome analog zur im Folgenden dargestellten schriftlichen Division von Zahlen vor:
$\begin{array}{l}21904:37=592\\ \underset{¯}{185}\\ 340\\ \underset{¯}{333}\\ 74\\ \underset{¯}{74}\\ 0\end{array}$

Man prüft also, wie oft der Divisor in den „höchsten Stellen“ enthalten ist. Völlig entsprechend geht man bei der Division durch lineare Polynome vor.
Beachte: Jeder Summand des Quotienten ergibt sich als Antwort auf die Frage: „Wie oft ist x im Dividenden enthalten?“
$\begin{array}{l}\left(x^3-4x^2-41x-36\right):\left(x-9\right)=x^2+5x+4\\ -(\text{‌}\underset{¯}{x^3-9x^2)}\\ 5x^2-41x\\ -(\underset{¯}{5x^2-45x})\\ 4x-36\\ -(\underset{¯}{4x-36})\\ 0\end{array}$

Die Division geht ohne Rest auf, weil $x=9$ eine Nullstelle des Dividenden ist. [Man dividiere zur Übung durch $\left(x+1\right)$ und $\left(x+4\right)$.]
Noch ein Trick für den Schulgebrauch: Wenn die Koeffizienten der kubischen Gleichung ganzzahlig sind, dann müssen die reellen Lösungen der Gleichung Teiler des konstanten Gliedes sein. In unserem Beispiel kämen demnach die Werte $\pm \mathrm{1,}\pm \mathrm{2,}\pm \mathrm{3,}\pm \mathrm{4,}\pm \mathrm{6,}\pm \mathrm{9,}\pm \mathrm{12,}\pm 18\text{ und }\pm 36$ in Frage. Durch Probieren findet man schnell $x=-1$.

Beispiel 2:
$\begin{array}{l}\left(x^3+4x^2-29x+24\right):\left(x-1\right)=x^2+5x-24\\ -(\underset{¯}{x^3-x^2})\\ 5x^2-29x\\ -(\underset{¯}{5x^2-5x)}\\ -24x+24\\ -(\underset{¯}{-24x+24})\\ 0\end{array}$

Beispiel 3:
$\begin{array}{l}\left(2x^3-17x^2+32x-12\right):\left(x-2\right)=2x^2-13x+6\\ \underset{¯}{2x^3-4x^2}\\ -13x^2+32x\\ \underset{¯}{-13x^2+26x}\\ 6x-12\\ \underset{¯}{6x-12}\\ 0\end{array}$

Beispiel 4:
$\begin{array}{l}\left(x^7-x^6-x^3+x^2\right):\left(x-1\right)=x^6-x^2\\ -(\underset{¯}{x^7-x^6)}\\ \text{‌}\text{‌}-x^3+x^2\\ -(\underset{¯}{-x^3+x^2})\\ 0\end{array}$

Beispiel 5:
$\begin{array}{l}\left(x^4-1\right):\left(x-1\right)=x^3+x^2+x+1\\ -(\underset{¯}{x^4-x^3})\\ \text{‌}\text{‌}{x}^3\\ -(\underset{¯}{x^3-x^2})\\ x^2\\ -(\underset{¯}{x^2-x})\\ x-1\\ -(\underset{¯}{x-1})\\ 0\end{array}$
Merke: $x^n-1$ hat die Nullstelle $x=1$ und ist deshalb durch
$\left(x-1\right)$ ohne Rest teilbar.

Beispiel 6:
Es soll $\left(x^3-4x^2-41x-36\right)$ durch $\left(x+5\right)$ geteilt werden. Nach obigem Beispiel 1 sind $x_1=9,x_2=-1und{x}_3=-4$ Nullstellen des Polynoms, es muss also die Division durch $\left(x+5\right)$ einen Rest lassen. Es ist:
$\begin{array}{l}\left(x^3-4x^2-41x-36\right):\left(x+5\right)=x^2-9x+4-\frac{56}{x+5}\\ -(\underset{¯}{x^3+5x^2})\\ -9x^2-41x\\ -(\underset{¯}{-9x^2-45x})\\ \text{‌}\text{‌}\text{‌}4x-36\\ -(\underset{¯}{4x+20})\\ -56\end{array}$

Aufgabe
Welchen Wert muss a im folgenden Beispiel haben, damit die Division ohne Rest ausführbar ist?
$\left(x^3+3x+a\right):\left(x-3\right)$

Schreibt man für ein Polynom n-ten Grades (mit $a_n=1$) kürzer $P_n\left(x\right)$, so kann man die Division in Kurzform darstellen als
$P_n\left(x\right):\left(x-x_1\right)=P_{n-1}\left(x\right)\text{‌}\text{‌}\text{‌}\text{‌}$
oder
$P_n\left(x\right)=\left(x-x_1\right)\cdot P_{n-1}\left(x\right)\text{‌}\text{‌}\text{‌}\text{‌}$.
Verfolgt man diesen Gedanken weiter, nimmt man also an, dass $x_2$ eine Nullstelle von $P_{n-1}\left(x\right)\text{‌}\text{‌}\text{‌}\text{‌}$ ist, dann führt das zu
$P_{n-1}\left(x\right)=\left(x-x_2\right)\cdot P_{n-2}\left(x\right)\text{‌}$
oder
$P_n\left(x\right)=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\cdot P_{n-2}\left(x\right)\text{‌}$.
Daraus kann man unmittelbar schließen, dass sich ein Polynom n-ten Grades als ein Produkt von Linearfaktoren darstellen lässt, wenn man die (reellen) Nullstellen kennt:
$P_n\left(x\right)=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\cdot \mathrm{...}\cdot \left(x-x_n\right)\text{‌}$
(Die Vermutung ist damit zwar nicht bewiesen, wir können sie aber als beweisbar hinnehmen.)

Für den praktischen Umgang mit Gleichungen höheren Grades heißt das, dass bei Kenntnis einer Lösung einer Gleichung n-ten Grades die weitere Lösungssuche auf eine Gleichung $(n-1)\text{‌}$-ten Grades zurückgeführt werden kann. Man muss allerdings durch ein Polynom dividieren können. Wie das auszuführen ist, wurde in den obigen Beispielen gezeigt.