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Ein Wesenszug der Mathematik ist das Streben nach Verallgemeinerungen, ist das Erforschen von Gesetzmäßigkeiten, die nicht nur für einzelne Objekte, sondern für ganze Klassen von Objekten gelten. Dabei sind Variablen praktisch unentbehrlich.
Variablen werden meist durch Buchstaben dargestellt. Wenn man Variablen verwendet, ist es notwendig, immer den zugehörigen Variablengrundbereich zu berücksichtigen.

Der vietasche Wurzelsatz beschreibt eine Beziehung zwischen den Koeffizienten der Normalform der quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$ und den Lösungen $x_1$ und $x_2$. Es gilt:
$x_1+x_2=-pund{x}_1\cdot x_2=q$

Der Fundamentalsatz der Algebra sagt aus, dass eine Gleichung n-ten Grades genau n Lösungen hat. Er sagt nichts darüber, wie man diese Lösungen finden kann. Es gibt keine allgemeingültige Lösungsformel!

Wenn diese Lösungen alle in der Menge der reellen Zahlen liegen, so kann das Polynom als Produkt von Linearfaktoren dargestellt werden. Ein Polynom 2. Grades kann in der Form $\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$ dargestellt werden, worin $x_1$ und $x_2$ die Wurzeln des Polynoms, d. h. die Lösungen der quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$ sind. Das Polynom 2. Grades lässt sich also ohne Rest durch $\left(x-x_1\right)$ teilen.
Diese Aussage gilt auch für Polynome höheren Grades.

Die Koeffizienten eines Polynoms
$\text{P(n)}={\text{x}}^{\text{n}}+{\text{a}}_{\text{n}-\text{1}}{\text{x}}^{\text{n}-\text{1}}+{\text{a}}_{\text{n}-\text{2}}{\text{x}}^{\text{n}-\text{2}}+\mathrm{...}+{\text{a}}_{\text{1}}\text{x}+{\text{a}}_{\text{0}}$
mit n reellen Nullstellen lassen sich als Summen, Produkte und Summen von Produkten der Nullstellen darstellen.

Der Begriff Gleichung geht auf LEONARDO FIBONACCI (etwa 1180 bis etwa 1250) zurück, der ihn in italienischer Sprache als equatio benutzte.
Die Gleichheit zweier Terme wurde lange Zeit verbal ausgedrückt, z. B. durch das lateinische Wort aequatur (gleicht).
Im Zusammenhang mit der Benutzung von Variablen wurde ein Zeichen für die Gleichheit zwingend erforderlich.
Das heutige Gleichheitszeichen „=“ stammt von dem englischen Mathematiker ROBERT RECORDE (1510 bis 1558).

* 31. März 1596 La Haye bei Tours
† 11. Februar 1650 Stockholm

Der französische Philosoph RENÉ DESCARTES gilt als einer der Wegbereiter der Aufklärung in Europa. Auf mathematischem Gebiet arbeitete er vor allem zur analytischen Geometrie. So geht die heute gebräuchliche Form des (kartesischen) Koordinatensystems auf ihn zurück. Auch setzte er sich dafür ein, mathematische (deduktive) Methoden in der Philosophie anzuwenden.

* 1607 Beaumont-de-Lomagne
† 12. Januar 1665 Castres

PIERRE DE FERMAT begründete neben RENÉ DESCARTES die analytische Geometrie. Des Weiteren arbeitete er auf dem Gebiet der Zahlentheorie und war an der Ausarbeitung von Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung beteiligt. FERMAT führte einen regen wissenschaftlichen Briefwechsel mit Mathematikern seiner Zeit wie DESCARTES und BLAISE PASCAL. Eine besondere Berühmtheit erlangte sein Name im Zusammenhang mit der fermatschen Vermutung, deren Beweis viele Generationen von Mathematikern beschäftigte und erst im Jahre 1994 gelang.

Eine lineare Funktion $f$ mit $f\left(x\right)=mx+n(\text{mit}m,n\in ℝ;m\ne 0)$ besitzt genau eine Nullstelle $x_0$, sie berechnet sich nach $x_0=-\frac{n}{m}$.
Eine quadratische Funktion $f$ mit $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ hat maximal zwei Nullstellen. Diese ergeben sich als (mögliche) Lösungen der Gleichung $a{x}^2+bx+c=0$.