Variablen, Wissenswertes und Historisches

Ein Wesenszug der Mathematik ist das Streben nach Verallgemeinerungen, das Erforschen von Gesetzmäßigkeiten, die nicht nur für einzelne Objekte, sondern für ganze Klassen von Objekten gelten.

Beispiel:
Aus der Tatsache, dass $3^2+4^2=5^2$ gilt, folgt die mathematische Fragestellung, für welche natürliche Zahlen die Beziehung $a^2+b^2=c^2$ noch gilt.
Daran schließt sich die Fragestellung an, wie dies für allgemeine Exponenten n aussieht. Ob es also Zahlen gibt, für die $a^n+b^n=c^n$ gilt.

Wie das Beispiel zeigt, sind Variablen praktisch unentbehrlich.

Variablen werden meist durch Buchstaben dargestellt. Mitunter stehen aber Buchstaben auch als Zeichen für ein einziges Objekt, z. B. $\pi$ als das Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises. In diesem Fall spricht man von einer Konstanten.

Wenn man Variablen verwendet, ist es notwendig, immer den zugehörigen Variablengrundbereich zu berücksichtigen, weil sonst Fehler auftreten können.

Beispiel:
So ist die Aussage: $a<b$ folgt $a\cdot c<b\cdot c$ (Monotonie)

• richtig, wenn a, b, c $\in$ $\mathbb{N}$, oder wenn a, b, c $\in$ $ℝ$ und $c>0$,
• falsch, wenn a, b, c $\in$ $ℝ$ und $c<0$,
• sinnlos, wenn a, b, c für Objekte stehen, zwischen denen keine Ordnungsrelation erklärt ist.

Wenn man Variablen verwendet, ist es sinnvoll, zwischen freien und gebundenen Variablen zu unterscheiden.

Historisches zu Variablen

Die Mathematiker der Antike verwendeten – von wenigen Ausnahmen abgesehen – keine Variablen. Auch die arabische Mathematik oder die spanischen mathematischen Zentren, die in der ersten Hälfte unseres Jahrtausends die Erkenntnisse besonders der griechischen Mathematiker weiterentwickelten, kannten keine Variablen.

Die Algebraiker des 16. Jahrhunderts, die sogenannten Cossisten (nach dem italienischen Wort cosa für die Unbekannte), verwandten noch komplizierte textliche Beschreibungen.
Als einer der ersten verwendete JORDANUS NEMORATIS um 1237 Buchstabengrößen, allerdings ohne verbindende Rechenzeichen.

Wesentlich zur Nutzung von Variablen haben die beiden französischen Mathematiker FRANÇOIS VIETA (1540 bis 1603) und RENÉ DESCARTES (1596 bis 1650) beigetragen.
In seinem 1591 erschienen Buch „In artem analyticam isagoge“ hat VIETA – er wurde auch VIÈTE genannt – Zahlen mithilfe von Buchstaben dargestellt und in seiner „logistica speciosa“ dann auch die Zeichen „+“ und „–“ sowie Aquadratum für $A^2$ verwendet.

Die konsequente und folgerichtige Nutzung von Variablen geschah jedoch erst im 17. Jahrhundert. Bis dahin wurden Aufgaben, insbesondere auch Gleichungen, Sätze und Lösungsalgorithmen durch umständliche, meist schwer verständliche Satzkonstruktionen ausgedrückt.
Später wurden dann Variablen eingeführt, ohne dass diese gleich so benannt wurden. Man sprach von allgemeinen Zahleņ Buchstabengrößen u. Ä. und bezeichnete das Arbeiten mit Variablen als Buchstabenrechnen.