Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik
  3. 5 Gleichungen und Ungleichungen
  4. 5.9 Algebraische Gleichungen höheren Grades
  5. 5.9.2 Kubische Gleichungen und Gleichungen höheren Grades
  6. Polynome, Koeffizientenbeziehungen

Polynome, Koeffizientenbeziehungen

Die Koeffizienten eines Polynoms
P(n) = x n + a n − 1   x n − 1 + a n − 2   x n − 2 + ... + a 1   x + a 0
mit n reellen Nullstellen lassen sich als Summen, Produkte und Summen von Produkten der Nullstellen darstellen.

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

Die Koeffizienten eines Polynoms
P(n) = x n + a n − 1   x n − 1 + a n − 2   x n − 2 + ... + a 1   x + a 0
mit n reellen Nullstellen lassen sich als Summen, Produkte und Summen von Produkten der Nullstellen darstellen.
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat jedes Polynom mindestens eine Nullstelle.
Das Polynom ist dann durch den Linearfaktor ( x − x Nullstelle ) ohne Rest teilbar, sodass dadurch ein Polynom n-ten Grades als Produkt aus einem Linearfaktor und einem Polynom (n – 1)-ten Grades dargestellt werden kann. Setzt man das fort, so erhält man eine Darstellung des Polynoms durch ein Produkt von Linearfaktoren.

Wenn bei einem Polynom zweiten Grades die Nullstellen x 1 und x 2 reell sind, so erhält man folgende Darstellung:
x 2 + px + q =  ( x – x 1 ) ( x – x 2 )  = x 2 – ( x 1 +x 2 ) x + x 1 x 2
Aus dem Vergleich der Koeffizienten folgt
x 1  + x 2  = –p   und   x 1 ⋅     x 2  = q
Diese Beziehungen werden im Wurzelsatz von Vieta für quadratische Polynome zusammengefasst.

Nimmt man für Polynome dritten Grades an, dass drei reelle Nullstellen
x 1 , x 2 und x 3 existieren, dann muss wieder gelten
x 3 + ax 2 + bx + c =  ( x – x 1 ) ( x – x 2 ) ( x – x 3 )                           = x 3  –  ( x 1  + x 2  + x 3 )  x 2 +  ( x 1 x 2  + x 1 x 3  + x 2 x 3 )  x  +  x 1 x 2 x 3
woraus sich durch Koeffizientenvergleich die Beziehungen
x 1 + x 2 + x 3  = –a ,      x 1 x 2  + x 1 x 3 + x 2 x 3  = b   und   x 1 x 2 x 3 = –c
ergibt.

Man kann vermuten, dass die Koeffizienten aus Summen, Produkten und Summen von Produkten von Nullstellen darstellbar sind.
Diese Vermutung ist für beliebige Polynome beweisbar.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Polynome, Koeffizientenbeziehungen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/polynome-koeffizientenbeziehungen (Abgerufen: 09. June 2025, 17:31 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • Linearfaktoren
  • Vieta
  • Polynom
  • Wurzelsatz
  • Koeffizienten
  • Zerlegung
  • vietascher Wurzelsatz
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Quadratische Funktionen, Nullstellen

Wir betrachten zunächst quadratische Funktionen der Form y = f ( x ) = a x 2 + b x + c .
Man erhält y = f ( x ) = x 2 + b x + c bzw. durch Umbenennung
y = f ( x ) = x 2 + p x + q ,     p ,   q ∈ ℝ .
Um den Zusammenhang zwischen den reellen Zahlen p, q und den Nullstellen der jeweiligen quadratischen Funktionen bzw. den Schnittpunkten ihrer Graphen mit der x-Achse zu erkennen, ist es zweckmäßig, eine Fallunterscheidung durchzuführen.

Francois Vieta

FRANÇOIS VIÈTE (1540 bis 1603), französischer Mathematiker
* 1540 in Fontenay-le-Comte
† 13. Dezember 1603 in Paris

FRANÇOIS VIÈTE arbeitete auf den Gebieten der Trigonometrie und Gleichungslehre.
Unter anderem beschäftigte er sich mit der Berechnung der Kreiszahl π . Zu seinen Verdiensten gehört die Einführung von Buchstaben als allgemeine Zahlzeichen.

Niels Henrik Abel

NIELS HENRIK ABEL (1802 bis 1829), norwegischer Mathematiker
* 5. August 1802 Insel Finnöy
† 6. April 1829 Froland

NIELS HENRIK ABEL befasste sich mit der Lösbarkeit von Gleichungen n-ten Grades. Im Jahre 1826 gelang ihm der Nachweis, dass es für Gleichungen 5. Grades keine geschlossene Lösungsformel geben kann.

Evariste Galois

EVARISTE GALOIS (1811 bis 1832), französischer Mathematiker
* 18. Oktober 1811 Bourg-la-Reine bei Paris
† 31. Mai 1832 Paris

EVARISTE GALOIS gelang eine Klärung der Lösbarkeit algebraischer Gleichungen durch Wurzelgrößen (Radikale). Er benutzte dazu die Gruppentheorie.

Algebraische Gleichungen

In einer algebraischen Gleichung werden mit der Variablen nur algebraische Rechenoperationen vorgenommen, d. h., die Variablen werden addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert bzw. potenziert oder radiziert.
Jede algebraische Gleichung kann in der folgenden allgemeinen Form dargestellt werden:
  a n x n + a n − 1 x n − 1 + ... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025