Quadratische Funktionen, Nullstellen

Wir betrachten zunächst quadratische Funktionen y = f ( x ) = a x 2 + b x + c mit a = 1.
Man erhält
y = f ( x ) = x 2 + b x + c bzw. durch Umbenennung y = f ( x ) = x 2 + p x + q , p , q .
Um den Zusammenhang zwischen den reellen Zahlen p, q und den Nullstellen der jeweiligen quadratischen Funktionen bzw. den Schnittpunkten ihrer Graphen mit der x-Achse zu erkennen, ist es zweckmäßig, eine Fallunterscheidung durchzuführen.

Fall 1: p = 0, q = 0
Man erhält die quadratische Funktion y = f ( x ) = x 2 (Bild 1).
Diese Funktion hat genau eine Nullstelle: x = 0

Nullstellen der quadratischen Funktion

Nullstellen der quadratischen Funktion


Fall 2: p = 0; q 0
Es ergibt sich die Gleichung y = f ( x ) = x 2 + q , q , z. B. also
y = f 1 ( x ) = x 2 + 1 oder y = f 2 ( x ) = x 2 4 (Bild 2).
Man erkennt:
Ist q > 0, so existiert kein Schnittpunkt mit der x-Achse und demzufolge keine Nullstelle; für q < 0 dagegen gibt es zwei Abszissen-Schnittpunkte und folglich zwei Nullstellen.
Bei der rechnerischen Nullstellenbestimmung geht man in folgenden Schritten vor:

Allgemeiner Fall:
f ( x ) = x 2 + q 0 = x 2 + q x 2 = q |x| = q  und  damit x 1 = + q , x 2 = q
Beispiel:
g ( x ) = x 2 4 0 = x 2 4 x 2 = 4 | x | = 2  und  damit x 1 = 2, x 2 = 2
Die Funktion f hat also die Nullstellen
x 1 = + q   u n d   x 2 = q .
Ihr Graph schneidet die x-Achse in
den Punkten P 1 ( q ; 0 ) und P 2 ( q ; 0 ) .
Die Funktion g hat also die Nullstellen
x 1 = 2 und x 2 = 2 .
Ihr Graph schneidet die x-Achse in den Punkten P 1 ( 2 ; 0 ) und P 2 ( 2 ; 0 ) .
Nullstellen der quadratischen Funktionen

Nullstellen der quadratischen Funktionen

Fall 3: p 0, q = 0
Man erhält die Gleichung y = f ( x ) = x 2 + p x + q , p , q , z. B. also y = g ( x ) = x 2 + 2 x (Bild 3).
Um die Nullstellen der Funktionen zu ermitteln, ist die Gleichung

x 2 + p x = 0                      bzw. x 2 + 2 p x = 0
zu lösen. Man erhält:
x 2 + p x = x ( x + p ) = 0
x 2 + 2 p x = x ( x + 2 ) = 0

Da ein Produkt genau dann gleich 0 ist, wenn mindestens ein Faktor den Wert 0 hat, folgt:

x 1 = 0  oder x 2 + p = 0,   also x 2 = p x 1 = 0  oder x 2 + 2 = 0,   also x 2 = 2
Die Funktion f hat demzufolge
die Nullstellen
x 1 = 0  und  x 2 = p .
Die Funktion g hat also die Nullstellen
x 1 = 0  und  x 2 = 2 .
Ihr Graph schneidet die x-Achse
in den Punkten
P 1 ( 0 ; 0 ) und P 2 ( p ; 0 ) .
Ihr Graph schneidet
die x-Achse in P 1 ( 0 ; 0 )
und P 2 ( 2 ; 0 ) .


Fall 4: p 0; q 0
Man erhält die Gleichung y = f ( x ) = x 2 + p x + q , p , q .
Die zugehörige Parabel hat den Scheitelpunkt S ( p 2 ; D )
mit der Diskriminante D = ( p 2 ) 2 q .
Kennt man D, dann kann man Aussagen über die Anzahl
der Nullstellen der zugehörigen quadratischen Funktion machen.
Es gilt:

Bild

Für die quadratische Funktion y = f ( x ) = x 2 3 x 1,75 mit
p = –3 und q = –1,75 gilt:
D = 2,25 + 1,75 = 4 > 0
Das heißt: Die Funktion f besitzt zwei Nullstellen.

Nullstellen einer quadratischen Funktion

Nullstellen einer quadratischen Funktion

Nullstellenberechnung:

Bild

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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