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  5. 6.4.2 Nullstellen der Funktionen y = x² + p · x + q
  6. Quadratische Funktionen, Nullstellen

Quadratische Funktionen, Nullstellen

Wir betrachten zunächst quadratische Funktionen der Form y = f ( x ) = a x 2 + b x + c .
Man erhält y = f ( x ) = x 2 + b x + c bzw. durch Umbenennung
y = f ( x ) = x 2 + p x + q ,     p ,   q ∈ ℝ .
Um den Zusammenhang zwischen den reellen Zahlen p, q und den Nullstellen der jeweiligen quadratischen Funktionen bzw. den Schnittpunkten ihrer Graphen mit der x-Achse zu erkennen, ist es zweckmäßig, eine Fallunterscheidung durchzuführen.

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Wir betrachten zunächst quadratische Funktionen y = f ( x ) = a x 2 + b x + c mit a = 1.
Man erhält
y = f ( x ) = x 2 + b x + c bzw. durch Umbenennung y = f ( x ) = x 2 + p x + q ,     p ,   q ∈ ℝ .
Um den Zusammenhang zwischen den reellen Zahlen p, q und den Nullstellen der jeweiligen quadratischen Funktionen bzw. den Schnittpunkten ihrer Graphen mit der x-Achse zu erkennen, ist es zweckmäßig, eine Fallunterscheidung durchzuführen.

Fall 1: p = 0, q = 0
Man erhält die quadratische Funktion y = f ( x ) = x 2 (Bild 1).
Diese Funktion hat genau eine Nullstelle: x = 0

  • Nullstellen der quadratischen Funktion


Fall 2: p = 0; q ≠ 0
Es ergibt sich die Gleichung y = f ( x ) = x 2 + q ,   q ∈     ℝ , z. B. also
y = f 1 ( x ) = x 2 + 1 oder y = f 2 ( x ) = x 2 − 4 (Bild 2).
Man erkennt:
Ist q > 0, so existiert kein Schnittpunkt mit der x-Achse und demzufolge keine Nullstelle; für q < 0 dagegen gibt es zwei Abszissen-Schnittpunkte und folglich zwei Nullstellen.
Bei der rechnerischen Nullstellenbestimmung geht man in folgenden Schritten vor:

Allgemeiner Fall:
                    f ( x ) = x 2 + q 0 = x 2 + q                   x 2 = − q |x| = − q  und  damit x 1 = + − q ,   x 2 = − − q
Beispiel:
                    g ( x ) = x 2 − 4 0 = x 2 − 4                   x 2 = 4 | x | = 2  und  damit x 1 = 2,   x 2 = − 2
Die Funktion f hat also die Nullstellen
x 1 = + − q   u n d   x 2 = − − q .
Ihr Graph schneidet die x-Achse in
den Punkten P 1 ( − q ;   0 ) und P 2 ( − − q ;   0 ) .
Die Funktion g hat also die Nullstellen
x 1 = 2 und x 2 = − 2 .
Ihr Graph schneidet die x-Achse in den Punkten P 1 ( 2 ;   0 ) und P 2 ( − 2 ;   0 ) .
  • Nullstellen der quadratischen Funktionen

Fall 3: p ≠ 0, q = 0
Man erhält die Gleichung y = f ( x ) = x 2 + p x + q ,     p ,   q ∈ ℝ , z. B. also y = g ( x ) = x 2 + 2 x (Bild 3).
Um die Nullstellen der Funktionen zu ermitteln, ist die Gleichung

x 2 + p x = 0                      bzw. x 2 + 2 p x = 0
zu lösen. Man erhält:
x 2 + p x = x ( x + p ) = 0
x 2 + 2 p x = x ( x + 2 ) = 0

Da ein Produkt genau dann gleich 0 ist, wenn mindestens ein Faktor den Wert 0 hat, folgt:

x 1 = 0  oder x 2 + p = 0,   also x 2 = − p x 1 = 0  oder x 2 + 2 = 0,   also x 2 = − 2
Die Funktion f hat demzufolge
die Nullstellen
x 1 = 0  und  x 2 = − p .
Die Funktion g hat also die Nullstellen
x 1 = 0  und  x 2 = − 2 .
Ihr Graph schneidet die x-Achse
in den Punkten
P 1 ( 0 ;   0 ) und P 2 ( − p ;   0 ) .
Ihr Graph schneidet
die x-Achse in P 1 ( 0 ;   0 )
und P 2 ( − 2 ;   0 ) .


Fall 4: p ≠ 0; q ≠ 0
Man erhält die Gleichung y = f ( x ) = x 2 + p x + q ,     p ,   q ∈ ℝ .
Die zugehörige Parabel hat den Scheitelpunkt S ( − p 2 ;   − D )
mit der Diskriminante D = ( p 2 ) 2 − q .
Kennt man D, dann kann man Aussagen über die Anzahl
der Nullstellen der zugehörigen quadratischen Funktion machen.
Es gilt:

Bild

Für die quadratische Funktion y = f ( x ) = x 2 − 3 x − 1,75 mit
p = –3 und q = –1,75 gilt:
D = 2,25 + 1,75 = 4 > 0
Das heißt: Die Funktion f besitzt zwei Nullstellen.

  • Nullstellen einer quadratischen Funktion

Nullstellenberechnung:

Bild

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Quadratische Funktionen, Nullstellen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/quadratische-funktionen-nullstellen (Abgerufen: 19. May 2025, 19:16 UTC)

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† 06. April 1829 Froland

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Geronimo Cardano

* 24. September 1501 Pavia
† 21. September 1576 Rom

GERONIMO CARDANO arbeitete auf dem Gebiet der Algebra und beschäftigte sich insbesondere mit dem Lösen kubischer Gleichungen. Die nach ihm benannte Lösungsformel (die cardanische Formel) stammt allerdings vom venezianischen Rechenmeister NICCOLÒ TARTAGLIA.
CARDANOS Studie „Liber de ludo aleae“ gilt als erste systematische Untersuchung auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Auf CARDANO gehen physikalische Erfindungen wie das Kardangelenk, die Kardanwelle bzw. die kardanische Aufhängung zurück. Zudem beschreib er als Erster den Verlauf der Typhuskrankheit.

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Der Funktionsbegriff ist von zentraler Bedeutung für die gesamte Mathematik und spielt auch bei Anwendungen der Mathematik in Naturwissenschaft und Technik sowie in Wirtschaft und Gesellschaft eine wichtige Rolle. Seine Entwicklung zur heute gebräuchlichen Form hat Jahrhunderte gedauert. Die Namen bekannter Mathematiker sind mit diesem Prozess eng verbunden.
Unter einer Funktion f versteht man eine eindeutige Zuordnung (Abbildung), die jedem Element x aus einer Menge D f eindeutig ein Element y aus einer Menge W f zuordnet. D f heißt der Definitionsbereich, W f der Wertebereich der Funktion f. Man nennt x ∈ D f ein Argument, das zugeordnete Element y ∈ W f den Funktionswert von x bei der Funktion f. Als Kurzschreibweise gibt man die Funktionsgleichung u.a. in der Form y = f ( x ) an.

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