Quadratische Funktionen, Nullstellen

Wir betrachten zunächst quadratische Funktionen $y=f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ mit a = 1.
Man erhält
$y=f\left(x\right)=x^2+bx+c$ bzw. durch Umbenennung $y=f\left(x\right)=x^2+px+q,p,q\in ℝ$.
Um den Zusammenhang zwischen den reellen Zahlen p, q und den Nullstellen der jeweiligen quadratischen Funktionen bzw. den Schnittpunkten ihrer Graphen mit der x-Achse zu erkennen, ist es zweckmäßig, eine Fallunterscheidung durchzuführen.

Fall 1: p = 0, q = 0
Man erhält die quadratische Funktion $y=f\left(x\right)=x^2$ (Bild 1).
Diese Funktion hat genau eine Nullstelle: x = 0

Fall 2: p = 0; q $\ne$0
Es ergibt sich die Gleichung $y=f\left(x\right)=x^2+q,q\in ℝ$, z. B. also
$y=f_1\left(x\right)=x^2+1$ oder $y=f_2\left(x\right)=x^2-4$ (Bild 2).
Man erkennt:
Ist q > 0, so existiert kein Schnittpunkt mit der x-Achse und demzufolge keine Nullstelle; für q < 0 dagegen gibt es zwei Abszissen-Schnittpunkte und folglich zwei Nullstellen.
Bei der rechnerischen Nullstellenbestimmung geht man in folgenden Schritten vor:

Fall 3: p $\ne$0, q = 0
Man erhält die Gleichung $y=f\left(x\right)=x^2+px+q,p,q\in ℝ$, z. B. also $y=g\left(x\right)=x^2+2x$ (Bild 3).
Um die Nullstellen der Funktionen zu ermitteln, ist die Gleichung

Da ein Produkt genau dann gleich 0 ist, wenn mindestens ein Faktor den Wert 0 hat, folgt:

Fall 4: p $\ne$0; q $\ne$0
Man erhält die Gleichung $y=f\left(x\right)=x^2+px+q,p,q\in ℝ$.
Die zugehörige Parabel hat den Scheitelpunkt $S\left(-\frac{p}{2};-D\right)$
mit der Diskriminante $D={\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q$.
Kennt man D, dann kann man Aussagen über die Anzahl
der Nullstellen der zugehörigen quadratischen Funktion machen.
Es gilt:

Für die quadratische Funktion $y=f\left(x\right)=x^2-3x-\mathrm{1,75}$ mit
p = –3 und q = –1,75 gilt:
D = 2,25 + 1,75 = 4 > 0
Das heißt: Die Funktion f besitzt zwei Nullstellen.

Nullstellenberechnung: