Nullstellen linearer und quadratischer Funktionen

Allgemein versteht man unter einer Nullstelle einer Funktion f diejenige Zahl x 0 D f , für die f ( x 0 ) = 0 gilt. Nullstellen zu berechnen heißt demnach, alle Lösungen der Gleichung f ( x ) = 0 zu ermitteln. Näherungsweise kann man Nullstellen auch grafisch bestimmen. Man zeichnet den Graphen und beim Schnittpunkt des Graphen mit der x -Achse liest man den Abszissenwert als Nullstelle ab.
Anmerkung: Nicht der Schnittpunkt des Graphen mit der x -Achse wird als Nullstelle angesehen, sondern nur die x -Koordinate dieses Punktes.

Nullstellen linearer Funktionen

Lineare Funktionen sind allgemein von der Form f ( x ) = m x + n ( mit   m , n ) und stellen ganzrationale Funktionen 1. Grades dar. Funktionen 1. Grades haben immer nur eine Nullstelle, nämlich die Lösung der linearen Gleichung 0 = m x + n .

  • Beispiel 1: Man bestimme die Nullstelle von f(x) = 2 3 x 1 .

Zur Berechnung der Nullstelle setzt man für f(x) den Wert Null ein und löst die Gleichung:
0 = 2 3 x 1 x = 3 2
Auf grafischem Weg kann man mithilfe des Anstiegs m = 2 3 und des Abschnittes auf der y -Achse n = 1 den Graph sofort zeichnen und liest als Schnittpunkt von Graph und x -Achse den Wert x 1,5 ab.

Graphisches Bestimmen der Nullstelle einer linearen Funktion

Graphisches Bestimmen der Nullstelle einer linearen Funktion

Allgemein gilt: Ist eine lineare Funktion in der Form f ( x ) = m x + n ( mit   m , n ; m 0 ) gegeben, dann berechnet man deren Nullstelle x 0 nach x 0 = n m .

Nullstellen quadratischer Funktionen

Die allgemeine Form quadratischer Funktionen als ganzrationale Funktionen 2. Grades ist f ( x ) = a x 2 + b x + c . Zum Bestimmen der Nullstellen erhält man Gleichungen der Form a x 2 + b x + c = 0 mit den Lösungen x 1; 2 = b 2a ± b 2 4a c 4a 2 .

Eine quadratische Funktion hat maximal zwei Nullstellen.

  • Beispiel 2: Von den folgenden quadratischen Funktionen sind die Nullstellen zu ermitteln:
    a ) f ( x ) = x 2 6 x 8 b ) g ( x ) = x 2 3 x + 2,25 c ) h ( x ) = ( x + 3 ) 2 + 2

Lösung der Teilaufgabe a):
x 1; 2 = 3 ± 9 8 x 1 = 4 x 2 = 2
Die Funktion f hat zwei Nullstellen.

Lösung der Teilaufgabe b):
x 1; 2 = 3 2 ± 9 9 4 x 1 = 1,5
Die Funktion g hat genau eine Nullstelle.

Lösung der Teilaufgabe c):
Man liest unmittelbar die Koordinaten des Scheitelpunktes S ( 3 ; 2 ) ab, das ist ein Punkt oberhalb der x -Achse, und wegen der Öffnung der Parabel nach oben gibt es keine Nullstelle.

Sind zwei Nullstellen x 1  und  x 2 vorhanden, dann gilt nach dem Satz von VIETA:
x 1 + x 2 = b a  und  x 1 x 2 = c a

Hieraus folgt für f ( x ) :
f ( x ) = a x 2 + b x + c = a ( x 2 + b a x + c a ) = a ( x 2 + x ( x 1 x 2 ) + x 1 x 2 ) = a ( x 2 x x 1 x x 2 + x 1 x 2 ) = a ( x x 1 ) ( x x 2 )   für   a 0

Auf diese Weise kann man den Funktionsterm einer quadratischen Funktion als Produkt von Linearfaktoren schreiben.
Sind andererseits die Nullstellen x 1  und  x 2 einer ansonsten unbekannten quadratischen Funktion gegeben, dann ist ihr Funktionsterm auf jeden Fall vom Typ f ( x ) = a ( x x 1 ) ( x x 2 ) .

  • Beispiel 3: Gegeben sind die Nullstellen x 1 = 3  und  x 2 = 5 einer quadratischen Funktion f .
    Man bestimme eine Funktionsgleichung für f .

In f ( x ) = a ( x x 1 ) ( x x 2 ) werden für x 1  und  x 2 die gegebenen Werte eingesetzt, und man erhält
f ( x ) = a ( x 3 ) ( x + 5 ) f ( x ) = a ( x 2 + 2 x 1 5 )

Damit ist der Funktionsterm von f bis auf den Koeffizienten a bestimmt. Für jeden Wert a ergibt sich eine bestimmte Funktionsgleichung, z.B. a = 2 liefert f ( x ) = 2 x 2 + 4 x 3 .

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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