Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik Abitur
  3. 3 Funktionen und ihre Eigenschaften
  4. 3.3 Eigenschaften von Funktionen
  5. 3.3.5 Nullstellen
  6. Nullstellen linearer und quadratischer Funktionen

Nullstellen linearer und quadratischer Funktionen

Eine lineare Funktion f mit f ( x ) = m x + n       ( mit       m ,   n ∈ ℝ ;       m ≠ 0 ) besitzt genau eine Nullstelle x 0 , sie berechnet sich nach x 0 = −   n m .
Eine quadratische Funktion f mit f ( x ) = a x 2 + b x + c hat maximal zwei Nullstellen. Diese ergeben sich als (mögliche) Lösungen der Gleichung a x 2 + b x + c = 0 .

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

Allgemein versteht man unter einer Nullstelle einer Funktion f diejenige Zahl x 0 ∈ D f , für die f ( x 0 ) = 0 gilt. Nullstellen zu berechnen heißt demnach, alle Lösungen der Gleichung f ( x ) = 0 zu ermitteln. Näherungsweise kann man Nullstellen auch grafisch bestimmen. Man zeichnet den Graphen und beim Schnittpunkt des Graphen mit der x -Achse liest man den Abszissenwert als Nullstelle ab.
Anmerkung: Nicht der Schnittpunkt des Graphen mit der x -Achse wird als Nullstelle angesehen, sondern nur die x -Koordinate dieses Punktes.

Nullstellen linearer Funktionen

Lineare Funktionen sind allgemein von der Form f ( x ) = m x + n       ( mit       m ,   n ∈ ℝ ) und stellen ganzrationale Funktionen 1. Grades dar. Funktionen 1. Grades haben immer nur eine Nullstelle, nämlich die Lösung der linearen Gleichung 0 = m x + n .

  • Beispiel 1: Man bestimme die Nullstelle von f(x) = 2 3 x − 1 .

Zur Berechnung der Nullstelle setzt man für f(x) den Wert Null ein und löst die Gleichung:
  0 = 2 3 x − 1 ⇒ x = 3 2
Auf grafischem Weg kann man mithilfe des Anstiegs m = 2 3 und des Abschnittes auf der y -Achse n = 1 den Graph sofort zeichnen und liest als Schnittpunkt von Graph und x -Achse den Wert x ≈ 1,5 ab.

  • Graphisches Bestimmen der Nullstelle einer linearen Funktion

Allgemein gilt: Ist eine lineare Funktion in der Form f ( x ) = m x + n       ( mit       m ,   n ∈ ℝ ;       m ≠ 0 ) gegeben, dann berechnet man deren Nullstelle x 0 nach x 0 = −   n m .

Nullstellen quadratischer Funktionen

Die allgemeine Form quadratischer Funktionen als ganzrationale Funktionen 2. Grades ist f ( x ) = a x 2 + b x + c . Zum Bestimmen der Nullstellen erhält man Gleichungen der Form a x 2 + b x + c = 0 mit den Lösungen x 1;   2 = −   b 2a ± b 2 − 4a ⋅ c 4a 2 .

Eine quadratische Funktion hat maximal zwei Nullstellen.

  • Beispiel 2: Von den folgenden quadratischen Funktionen sind die Nullstellen zu ermitteln:
    a )   f ( x ) = x 2 − 6 x + 8 b )   g ( x ) = x 2 − 3 x + 2,25 c )   h ( x ) = ( x + 3 ) 2 + 2

Lösung der Teilaufgabe a):
  x 1;   2 = 3 ± 9 − 8   x 1 = 4     x 2 = 2
Die Funktion f hat zwei Nullstellen.

Lösung der Teilaufgabe b):
  x 1;   2 = 3 2 ± 9 − 9 4   x 1 = 1,5
Die Funktion g hat genau eine Nullstelle.

Lösung der Teilaufgabe c):
Man liest unmittelbar die Koordinaten des Scheitelpunktes S ( −   3 ;   2 ) ab, das ist ein Punkt oberhalb der x -Achse, und wegen der Öffnung der Parabel nach oben gibt es keine Nullstelle.

Sind zwei Nullstellen x 1  und  x 2 vorhanden, dann gilt nach dem Satz von VIETA:
  x 1 + x 2 = −   b a  und  x 1 ⋅ x 2 = c a

Hieraus folgt für f ( x ) :
  f ( x ) = a x 2 + b x + c = a ( x 2 + b a x + c a )           = a ( x 2 + x ( − x 1 − x 2 ) + x 1 ⋅ x 2 )           = a ( x 2 − x x 1 ⋅ − x ⋅ x 2 + x 1 ⋅ x 2 )           = a ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 )         für       a ≠ 0

Auf diese Weise kann man den Funktionsterm einer quadratischen Funktion als Produkt von Linearfaktoren schreiben.
Sind andererseits die Nullstellen x 1  und  x 2 einer ansonsten unbekannten quadratischen Funktion gegeben, dann ist ihr Funktionsterm auf jeden Fall vom Typ f ( x ) = a ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 ) .

  • Beispiel 3: Gegeben sind die Nullstellen x 1 = 3  und  x 2 = −   5 einer quadratischen Funktion f .
    Man bestimme eine Funktionsgleichung für f .

In f ( x ) = a ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 ) werden für x 1  und  x 2 die gegebenen Werte eingesetzt, und man erhält
  f ( x ) = a ( x − 3 ) ⋅ ( x + 5 )   f ( x ) = a ( x 2 + 2 x − 1 5 )

Damit ist der Funktionsterm von f bis auf den Koeffizienten a bestimmt. Für jeden Wert a ∈ ℝ ergibt sich eine bestimmte Funktionsgleichung, z.B. a = 2 liefert f ( x ) = 2 x 2 + 4 x − 3 .

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Nullstellen linearer und quadratischer Funktionen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/nullstellen-linearer-und-quadratischer-funktionen (Abgerufen: 20. May 2025, 09:36 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • Vieta
  • Anstieg
  • Mathcad
  • quadratische Funktionen
  • Parabel
  • Graphen
  • graphisches Lösen
  • interaktives Rechenbeispiel
  • Scheitelpunkt
  • Schnittpunkte
  • allgemeine Form
  • lineare Funktionen
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Grafisches Lösen von Gleichungen

Gleichungen, für die exakte Lösungsverfahren nicht bekannt oder zu zeitaufwendig sind, lassen sich oft mit hinreichender Genauigkeit grafisch lösen.

Dabei geht man von der zu lösenden Bestimmungsgleichung zur entsprechenden Funktionsgleichung über, stellt (unter Verwendung eines Taschenrechners) eine Wertetabelle auf und zeichnet den Graphen der Funktion.

Die Abszissen der Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse, also die Nullstellen, sind die Lösungen der Gleichung. Man liest sie näherungsweise ab. Die Genauigkeit beim Ablesen kann verbessert werden, wenn die Funktion in einem immer engeren Intervall um die Nullstelle herum dargestellt wird.

Das Vorgehen beim grafischen Lösen von Gleichungen soll im Folgenden durch ein Beispiel verdeutlicht werden.

Logarithmusfunktionen

Funktionen mit Gleichungen der Form y = f ( x ) = log a   x   ( a ,   x ∈ ℝ ;       a ,   x > 0;       a ≠ 1 )
heißen Logarithmusfunktionen.
Von besonderer Bedeutung sind die Logarithmusfunktionen mit den Basen 10 und 2 sowie der eulerschen Zahl e.

Nullstellen ganzrationaler Funktionen (dritten und höheren Grades)

Allgemein versteht man unter einer Nullstelle einer Funktion f diejenige Zahl x 0 ∈ D f , für die f ( x 0 ) = 0 gilt. Nullstellen zu berechnen heißt demnach, alle Lösungen der Gleichung f ( x ) = 0 zu ermitteln.
Diese kann man rechnerisch durch Anwenden der äquivalenten Umformungsregeln, Verwenden von Lösungsformeln u.a. sowie Anwenden von Näherungsverfahren  bestimmen.

Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen

Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion sind alle Nullstellen der ganzrationalen Zählerfunktion, die nicht gleichzeitig Nullstellen der Nennerfunktion sind. Damit ist das Bestimmen der Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen auf die Nullstellenermittlung ganzrationaler Funktionen zurückgeführt.

Nullstellen trigonometrischer Funktionen

Viele periodische Vorgänge lassen sich durch Funktionen der Form f ( x ) = a ⋅ sin ( b ⋅ ( x − c ) ) beschreiben. Deren Graphen entstehen aus dem Graphen der Sinusfunktion durch Streckung (Stauchung) in Richtung der Koordinatenachsen und Verschiebung in Richtung der x-Achse, woraus sich Schlussfolgerungen für die Nullstellen ziehen lassen.
Für mit anderen Funktionen verkettete Sinus- und Kosinusfunktionen führt das Bestimmen der Nullstellen auf das Lösen goniometrischer Gleichungen.

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025