- Lexikon
- Mathematik
- 5 Gleichungen und Ungleichungen
- 5.7 Quadratische Gleichungen
- 5.7.3 Lösungsformel für quadratische Gleichungen
- Quadratische Gleichungen, Lösungsformel
Die Gleichung zur Berechnung der beiden Lösungen der quadratischen Gleichung aus den Parametern p und q heißt Lösungsformel einer quadratischen Gleichung in der Normalform.
Der Term heißt Diskriminante der quadratischen
Gleichung.
Die Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen wie Quadrieren, Wurzelziehen, Faktorisieren, Verwenden binomischer Formeln und quadratische Ergänzung führen nicht bei jeder quadratischen Gleichung der Form
zur Lösung.
Deshalb ist es zweckmäßig, die Umformungen allgemein mit beliebigen Parametern durchzuführen. Dadurch erhält man eine Formel, mit der die Lösungen direkt aus den Parametern berechnet werden können.
Herleitung der Lösungsformel für quadratische Gleichungen in der Normalform
Als Ausgangsgleichung wird die Normalform einer quadratischen Gleichung mit den Parametern p und q gewählt. Bei der Herleitung der Lösungsformel werden sowohl die quadratische Ergänzung als auch die binomischen Formeln genutzt (Bild 1).
Die quadratische Gleichung mit den Parametern hat die Lösungen
Ist hat die Gleichung die Doppellösung .
Für hat die Gleichung keine reellen Lösungen.
Um eine quadratische Gleichung mithilfe der Lösungsformel zu lösen, sind die in Bild 2 dargestellten Schritte zu absolvieren.
Hinweise zum Lösen einer quadratischen Gleichung:
Schrittfolge beim Lösen einer quadratischen Gleichung mithilfe der Lösungsformel
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