Funktionen mit der Gleichung y = mx

Wenn sich eine Schildkröte mit einer gleichbleibenden Geschwindigkeit von $\mathrm{1,5}\frac{m}{\min }$ fortbewegt, so besteht zwischen zurückgelegtem Weg und verflossener Zeit ein spezieller funktionaler Zusammenhang: Es handelt sich um eine direkte Proportionalität mit dem Proportionalitätsfaktor $\mathrm{1,5}\frac{m}{\min }$. Mittels der Gleichung $s=\mathrm{1,5}\frac{m}{\min }\cdot t$ lässt sich der Weg berechnen, den die Schildkröte in der Zeit t (gemessen in Minuten) zurückgelegt hat.
 

Jeder direkt proportionale Zusammenhang zwischen zwei Größen y und x kann durch eine spezielle lineare Funktion mit der Gleichung y = f(x) = mx (m $\ne$ 0) beschrieben werden. Solche Funktionen haben folgende Eigenschaften:

1. Der Definitions- und der Wertebereich ist $ℝ$.
2. Der Graph von y = f(x) = mx ist stets eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung verläuft.

Die Zahl m heißt dabei der Anstieg der Funktion f. Er gibt das Verhältnis einander zugeordneter Werte aus Definitions- und Wertebereich an.

Anschaulich betrachtet, kann man sagen:
Wenn x um 1 vergrößert wird, so verändert sich y um m.
Ist dabei m > 0, so wachsen die Funktionswerte an – die Gerade steigt.
Ist dagegen m < 0, so fallen die Funktionswerte wie auch die Gerade.

Um den Graphen einer linearen Funktion mit y = mx zu zeichnen, werden nur zwei Punkte benötigt. Als ein Punkt kann z.B. immer der Koordinatenursprung gewählt werden.
Einen zweiten Punkt erhält man, indem man

1. die Koordinaten dieses Punktes mithilfe der Funktionsgleichung berechnet oder
2. den Anstieg m benutzt.

Beispiel 1: Koordinaten mittels Funktionsgleichung berechnen

Für $x=2$:
$y=2,5x$
$y=2,5\cdot 2$
$y=5$:
$P(2;5)$

Beispiel 2: Koordinaten mittels Anstieg bestimmen

y = $\frac{3}{4}$ x; m = $\frac{3}{4}$
Wenn x um 1 wächst, so wächst y um $\frac{3}{4}$,
wenn x um 4 wächst, wächst y um 3.
P (4; 3 )

Beispiel 3: y = – 2x

Für  x = 1:
y = – 2 · 1
y = – 2
$P_1$ (1; – 2)

Oder:
Für x = – $\frac{1}{2}$:
y = – 2 · (– $\frac{1}{2}$)
y = 1
$P_2$ (– $\frac{1}{2}$; 1)

Beispiel 4: y = – $\frac{1}{2}$ x

m = – $\frac{1}{2}$
Wenn x um 1 wächst, so fällt y um $\frac{1}{2}$,
wenn x um 2 wächst, so fällt y um 1.
Oder: Wenn x um 2 fällt, so wächst y um 1.

Das eingezeichnete rechtwinklige Dreieck nennt man Anstiegsdreieck (Steigungsdreick). Anstiegsdreiecke kann man in beliebiger Größe und an beliebiger Stelle zeichnen sowie entlang des Graphen verschieben.

Durch die Gleichung y = f(x) = mx wird eine ganze Schar von Funktionen beschrieben, die sich nur im Anstieg m unterscheiden. Die Zahl m wird ein Parameter der Funktionsschar y = mx genannt. Zu der Funktionsschar gehört eine Geradenschar, deren einzelnen Elemente für m > 0 wachsen (steigen) und für m < 0 fallen.