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Betragsfunktion

Die Betragsfunktion ist ein Beispiel für eine stückweise erklärte stetige Funktion.

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Die formale Definition des absoluten Betrages (Absolutbetrags) einer reellen Zahl x ist die folgende:

  f   ( x ) = |   x   | = {     x , falls  x ≥ 0 − x , falls  x < 0

Aus dieser Definition folgt, dass immer |   x   | ≥ 0 gilt.

Weiter ist Null die einzige Zahl, für die der Absolutbetrag gleich null ist. Das kann kurz und bündig folgendermaßen formuliert werden:
  |   x   | = 0 ⇔ x = 0

Der Absolutbetrag erkennt die „Größe“ einer Zahl, ohne dabei auf das Vorzeichen zu achten. Die Tatsache, dass er das Vorzeichen ignoriert, lässt sich mathematisch als |   x   | = |   − x   | schreiben.

Auf der Zahlengeraden ist der Absolutbetrag der (stets nicht negative) Abstand einer Zahl vom Nullpunkt. Eine Größe |   17,3 − 19,3   | stellt den (positiv genommenen) Abstand zwischen den beiden Punkten 17,3 und 19,3 auf der Zahlengeraden dar (welcher sich als 2 erweist). Diese Bezeichnungsweise ist wichtig, wenn von zwei Zahlen gesagt werden soll, dass sie nahe beieinander liegen (wobei egal sein soll, welche die größere ist). Das Bequeme daran ist, dass man dabei nicht auf die Reihenfolge achten muss, da immer die folgende Beziehung gilt:
  |   x − y   | = |   y − x   |
(was aus |   x   | = |   − x   | folgt)

Sind die beiden Punkte x und y voneinander verschieden und liegen nahe beieinander, so ist |   x − y   | klein (und positiv). Sind die Punkte gleich, so ist |   x − y   | = 0 . Diese Eigenschaft des Absolutbetrags verwenden wir in der Mathematik sehr oft.

Im Folgenden sollen wesentliche Eigenschaften des Absolutbetrags angeführt werden. Für alle reellen Zahlen a und b gilt:

  1. |   a   | = |   − a   |
  2. |   a   | ≥ 0 ; |   a   | = 0 ⇔ a = 0
  3. |   a ⋅ b   | = |   a   | ⋅ |   b   |
  4. |   a b   | = |   a   | |   b   | f ü r a l l e b ≠ 0
  5. |   a n   | = |   a   | n f ü r n ∈ ℕ
  6. −   |   a   | ≤ a ≤ |   a   |
  7. |   a ± b   | ≤ |   a   | + |   b   | (Dreiecksungleichung)
  8. |   a   | − |   b   | ≤ |   |   a   | − |   b   |   | ≤ |   a ± b   | ≤ |   a   | + |   b   |
  9. |   a   | ≤ b ⇒ −   b ≤ a ≤ b
  10. |   a   | ≥ b ⇒ ( e n t w e d e r ) a ≤ −   b o d e r a ≥ b
  11. |   a   | ≤ |   b   | ⇒ a 2 ≤ b 2
  12. a 2 = |   a   | ; a 2 k 2 k = |   a   | f ü r k ∈ N

Es ist klar, dass für jede reelle Zahl a gilt:
  |   a   | ≥ a u n d |   a   | ≥ −   a

Wir beweisen nun die folgende Aussage (Dreiecksungleichung):
  |   a + b   | ≤ |   a   | + |   b   |

1. Fall: Sei a + b ≥ 0 .
Dann erhalten wir |   a + b   | = a + b und wegen b ≤ |   b   | , a ≤ |   a   | unmittelbar |   a + b   | = a + b ≤ |   a   | + |   b   | .

2. Fall: Sei a + b < 0 .
Mit |   a   | ≥ −   a u n d |   b   | ≥ −   b erhalten wir dann |   a + b   | = −   ( a + b ) = −   a − b ≤ |   a   | + |   b   | .

Leicht zu zeigen ist auch Folgendes:
Wenn |   a   | ≤ A u n d |   b   | ≤ B , dann |   a + b   | ≤ A + B u n d |   a b   | ≤ A B .

Rechnen mit Beträgen

  • Beispiel 1: Berechnen Sie 14 − 8 3
    Lösung:
      14 − 8 3 = 6 − 2 ⋅ 4 3 + 8 = 6 − 2 48 + 8       = ( 6 − 8 ) 2 = |   6 − 8   | = 8 − 6
  • Beispiel 2: Beweisen Sie: a 2 + b 2 + c 2 ≤ |   a   | + |   b   | + |   c   |
    Lösung: Es ist klar, dass gilt:
      a 2 + b 2 + c 2 ≤ a 2 + b 2 + c 2 + 2 |   a   | |   b   | + 2 |   a   | |   c   | + 2 |   b   | |   c   |       = ( |   a   | + |   b   | + |   c   | ) 2
    Daraus folgt sofort a 2 + b 2 + c 2 ≤ |   a   | + |   b   | + |   c   | .
  • Beispiel 3: Zeigen Sie: lim x   →   5 x + 4 = 3
    Lösung: Nach Definition des Grenzwertes muss es für alle ε > 0 ein δ > 0 geben mit
      |   x − 5   | < δ ⇒ |   x + 4 − 3   | < ε
    Es ist
      |   x + 4 − 3   | = |   ( x + 4 − 3 ) ( x + 4 + 3 ) x + 4 + 3   | = |   ( x + 4 ) − 9 x + 4 + 3   |   = |   x − 5 x + 4 + 3   | ≤ |   x − 5 + 3   | < ε
    Das heißt, für alle x mit |   x − 5   | < 3 ε gilt |   x + 4 − 3   | < ε , also δ = 3   ε und lim x   →   5 x + 4 = 3 .
  • Beispiel 4: Lösen Sie nach x auf: |   x − 3   | x + 1 4 = |   x − 3   | x − 2 3
    Lösung: Wir schreiben die Gleichung um:
      |   x − 3   |   x + 1 4 = |   x − 3   |   x − 2 3
    Sei |   x − 3   | = 1 , dann ist x − 3 = 1 o d e r x − 3 = − 1 und somit x = 4 o d e r x = 2 .
    Aus folgt |   x − 3   | = 1 , x = 3 und aus x + 1 4 = x − 2 3 schließlich x = 11 . Wir erhalten also folgende Lösungsmenge:
      L = { 2 ; 3 ; 4 ; 11 }

Betragsfunktion wird jene Funktion genannt, die jeder Zahl ihren Absolutbetrag zuordnet, d.h. x → |   x   | . Sie ist ein Beispiel für eine Funktion, deren einfachste Definition nicht als Termdarstellung, sondern mit Hilfe einer Fallunterscheidung (s.o.) geschieht.

  • Betragsfunktion

Im Folgenden werden einige weitere Beispiele grafischer Darstellungen von Funktionen mit Beträgen angegeben:

  • Beispiel 5: y = f ( x ) = |   |   x − 1   | − x   |
    Für x ≥ 1 gilt: y = |   x − 1 − x   | = |   1   | = 1
    Für x < 1 gilt: y = |   1 − x − x   | = |   1 − 2 x   |
  • Beispiel 6: y = f ( x ) = x ⋅ |   x   |
    Es ist:
      y = x ⋅ |   x   | = {     x 2 , f a l l s x ≥ 0 −   x 2 , f a l l s x < 0
  • Beispiel 7: y = f ( x ) = |   x 2 − 3 x − 4   |

Bild

Diese Funktion hat die gleichen Nullstellen wie y = f ( x ) = x 2 − 3 x − 4 . Der Graph entsteht aus dem Graphen jener Funktion durch Spiegelung des unterhalb der x-Achse gelegenen Teiles an der Abszissenachse.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Betragsfunktion." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/betragsfunktion (Abgerufen: 09. June 2025, 21:38 UTC)

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Asymptoten (asymptotische Linien)

Untersucht man ganzrationale Funktionen für beliebige große bzw. kleine x-Werte, so werden auch die Funktionswerte beliebig groß oder klein:
Für x → ±   ∞ gilt |   f ( x )   | = +   ∞ .

Völlig verschieden davon ist das Verhalten gebrochenrationaler Funktionen der Form
f(x) = p(x) q(x) .

Deren Graphen schmiegen sich für beliebig groß bzw. klein werdende Argumente immer mehr an eine Gerade an. Derartige Geraden werden Asymptoten des Graphen der Funktion genannt. Man unterscheidet zwischen waagerechten (horizontalen) und schiefen Asymptoten sowie asymptotischen Linien bzw. Kurven.

Anmerkung: Gelegentlich werden auch die Polgeraden bei vorhandenen Definitionslücken als senkrechte (vertikale) Asymptoten bezeichnet.

Johann Bernoulli

* 6. August 1667 (27. Juli 1667) Basel
† 1. Januar 1748 Basel

JOHANN BERNOULLI trug wesentlich zur Herausbildung moderner Auffassungen zur Infinitesimalrechnung und deren Verbreitung in Europa bei. Gemeinsam mit seinem älteren Bruder JAKOB und in Korrespondenz mit GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ entwickelte er den sogenannten „Leibnizschen Calculus“ weiter, der Begriff Integralrechnung geht auf ihn zurück.
Intensiv beschäftigte sich JOHANN BERNOULLI mit Anwendungen der Infinitesimalrechung auf physikalische und technische Probleme, zum Beispiel untersuchte er das Verhalten strömender Flüssigkeiten.

Definitionslücken

Definitionslücken treten insbesondere bei gebrochenrationalen Funktionen auf. Alle x-Werte, für die die Nennerfunktion den Wert Null annimmt, werden als Definitionslücken bezeichnet.
Man unterscheidet zwischen Polstellen und hebbaren Definitionslücken.

Funktionen von mehreren Variablen

Der Funktionsbegriff lässt sich für Funktionen mit zwei und mehr (unabhängigen) Variablen erweitern.
Elemente der Definitionsmenge sind dann Zahlenpaare, Zahlentripel bzw. n-Tupel.
Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen lassen sich als Flächen im dreidimensionalen Raum darstellen.

Quadratische Funktionen

Eine Funktion mit einer Gleichung der Form
  y = f ( x ) = a x 2 + b x + c   ( mit  a ≠ 0,       x ∈ ℝ )
oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt quadratische Funktion.
Dabei nennt man a x 2 das quadratische Glied, bx das lineare Glied und c das absolute Glied der Funktionsgleichung.
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

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