Rationale Zahlen, Begriff und Darstellung

Die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ enthält als Teilmenge die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$, die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ und die Menge der Bruchzahlen ${\mathbb{Q}}_{+}$ (Bild 1).

Die Relationen und Rechengesetze, die in diesen Zahlenbereichen gelten, gelten auch im Bereich der rationalen Zahlen:

• Kommutativgesetz der Addition und der Multiplikation
• Assoziativgesetz der Addition und der Multiplikation
• Distributivgesetz

Absoluter Betrag
Der Abstand, den eine rationale Zahl r vom Nullpunkt auf der Zahlengeraden hat, ist ihr absoluter Betrag $\left|r\right|$.
Es gilt:
      $\left|r\right|=\{\begin{array}{cc}r& \text{für }r\ge 0\\ -r& \text{für }r<0\end{array}$

Eine rationale Zahl ist

• positiv, wenn ihre Darstellung auf der Zahlengeraden rechts vom Nullpunkt liegt,
• negativ, wenn ihre Dars tellung auf der Zahlengeraden links vom Nullpunkt liegt.

Die Zahl Null ist weder positiv noch negativ.

Von zwei rationalen Zahlen ist diejenige größer, deren Darstellung auf der Zahlengeraden weiter rechts liegt (Bild 3).

Genau wie die Menge der Bruchzahlen ist die Menge der rationalen Zahlen überall dicht.